Математические головоломки и развлечения - [140]

Рис. 232Ответ к задаче о разрезании бублика.

Если диаметры тора и отверстия равны трем и одному дюйму, то диаметр каждой окружности в поперечном сечении равен, очевидно, двум дюймам.

Этим способом разрезания тора вместе с двумя другими способами, упоминавшимися в условии задачи, исчерпываются все случаи, когда сечение тора плоскостью имеет вид так или иначе расположенных окружностей.

5. На рис. 233 показано, как провести прямую, которая делит инь и ян на две равные по площади части. Проще всего это сделать, если провести две пунктирные полуокружности. Диаметр круга К равен половине диаметра монады, поэтому его площадь составляет 1/4 площади монады (напомним, что монадой называется круг, образованный двумя противоположными началами инь и ян). Вырезав из круга К лунку G и добавив область Н, получим фигуру, площадь которой по-прежнему будет в четыре раза меньше площади всей монады. Отсюда следует, что площадь G равна площади Н, а половина площади G равна половине площади Н. Проведенная прямая отсекает от круга К половину лунки G, но добавляет к К фигуру равной площади (половину Н), поэтому та часть монады, которая лежит ниже прямой и окрашена в черный цвет, должна занимать ту же площадь, что и круг К. Площадь маленького круга в четыре раза меньше площади большого круга, поэтому инь делится прямой пополам. Аналогичные рассуждения применимы и к ян.

Предыдущее доказательство принадлежит Г. Дьюдени. Однако существует другое, гораздо более простое доказательство. На рис. 233 проведем горизонтальный диаметр малого круга К.

Рис. 233Как одной прямой разделить пополам инь и ян.

Полукруг, лежащий под этим диаметром, очевидно, имеет площадь, составляющую 1/8 площади всей монады. Над проведенным диаметром располагается сектор большого круга в 45° (ограниченный горизонтальным диаметром малого круга К и диагональю квадрата, в который вписана монада). Его площадь, очевидно, также составляет 1/8 площади большого круга. Взятые вместе, полукруг и сектор имеют площадь, равную 1/4 площади большого круга, поэтому проведенная диагональная линия должна делить и инь и ян пополам.

Способы деления инь и ян на две равные по площади части кривыми линиями читатель найдет в статье Тригга «Деление инь и ян пополам».[73]

Обычно символ инь — ян (называемый Цай-чи-цю в Китае и Томойе в Японии) рисуют так, что оба начала чуть-чуть находят друг на друга. Это символизирует то обстоятельство, что в жизни противоположности редко встречаются в чистом виде и обычно в одной из противоположностей имеется легкая примесь другой. Символу инь—ян посвящена обширная восточная литература. Сэм Лойд, положивший этот символ в основу нескольких головоломок, называл его Великой Монадой. Термин «монада» повторяет Дьюдени; этот же термин использует в небольшой книжке «Страна чудес», выпущенной в 1901 году Северной Тихоокеанской железнодорожной компанией, Олин Д. Уилер. Первая глава книжки Уилера посвящена истории эмблемы железнодорожной компании и содержит любопытные сведения и цветные репродукции восточных источников. Более подробно о символе инь — ян можно прочитать в статье Шуйлера Каммана «Магические квадраты третьего порядка в древнекитайской философии и религии»,[74] в моей книге «Этот правый, левый мир»[75] и в первом томе книги Дж. Сартона «История науки».[76] Существует книга «Китайская монада, ее история и значение», написанная Вильгельмом фон Гогенцоллерном, но я не знаю ни даты ее выпуска, ни фамилии издателя.

6. По всей видимости, в семье Джонсов имеются четыре сестры и у троих из них голубые глаза. Если имеется n девушек и у Ь из них глаза голубого цвета, то вероятность того, что выбранные случайным образом две девушки будут голубоглазыми, равна

Мы знаем, что в нашем случае эта вероятность равна 1/2, поэтому задача сводится к отысканию таких целочисленных значений Ь и n, при которых выписанное выражение имеет значение 1/2. Наименьшими из таких значений являются n = 4 и Ь = 3. Ближайшие по величине значения составляют n = 21, b = 15, но, поскольку крайне невероятно, чтобы в одной семье была 21 сестра, мы будем считать ответом первую пару значений: четыре сестры, из которых три — голубоглазые.

7. Возраст «как роза, красного» города составляет семь миллиардов лет. Пусть х — возраст города, у — возраст вечности (в миллиардах лет). Миллиард лет назад возраст города составлял х — 1, а возраст вечности через миллиард лет составит у + 1 миллиардов лет. Условия задачи позволяют записать два простых уравнения:

Из этих уравнений мы находим х — возраст города; оказывается, х = 7000000000 лет, а у — возраст, достигнутый вечностью, равен 14 миллиардам лет. Сама постановка задачи предполагает, таким образом, теорию образования Вселенной в результате Большого взрыва.

8. Из-за ограниченности места мы лишь наметим способ, пользуясь которым можно показать, что соревнования по прыжкам в высоту на легкоатлетическом матче трех колледжей выиграл колледж Вашингтона.

За первое, второе и третье места в каждом виде соревнований присуждалось различное (но непременно целое и положительное) число очков. За первое место победившая команда не может получить меньше 3 очков. В то же время мы знаем, что соревнования проводились по крайней мере по двум видам легкой атлетики (толканию ядра и прыжкам в высоту) и что колледж Линкольна (выигравший соревнование по толканию ядра) набрал 9 очков, поэтому число очков, присуждаемых за первое место, не может быть меньше 8. Может ли оно быть равным 8? Нет, потому что это означало бы, что соревнования проводились только по толканию ядра и прыжкам в высоту и колледж Вашингтона не мог бы набрать 22 очка. Число очков, присуждаемых за первое место, не может быть равным и 7, потому что в этом случае соревнования могли бы проводиться не более чем по трем видам легкой атлетики, а трех видов недостаточно для того, чтобы колледж Вашингтона набрал 22 очка. Несколько более сложными рассуждениями можно показать, что число очков, присуждаемое за первое место, не равно 6, 4 и 3. Единственной возможностью остается число 5.