Математические головоломки и развлечения - [141]

Если команда, занявшая первое место получает 5 очков, то соревнования должны проводиться по крайней мере по пяти видам спорта (при меньшем числе видов колледж Вашингтона не наберет 22 очка, при большем — колледж Линкольна наберет больше 9 очков). Колледж Линкольна получает 5 очков за толкание ядра и, следовательно, по 1 за участие в соревнованиях по четырем другим видам спорта. Колледж Вашингтона может набрать 22 очка в двух случаях: получив 4, 5, 5, 5, 3 очка и получив 2, 5, 5, 5, 5 очков. Первая возможность исключается потому, что тогда колледж Рузвельта набрал бы 17 очков, а мы знаем, что его команда набрала всего лишь 9 очков. Оставшаяся возможность приводит к правильному числу очков у колледжа Рузвельта, и, таким образом, число очков, полученных каждой командой, восстанавливается однозначно (см. таблицу).

Колледж Вашингтона выигрывает соревнования по всем видам спорта, кроме толкания ядра, следовательно, он должен занять первое место и по прыжками в высоту.

Предположение о единственности ответа на задачу позволяет намного сократить решение. Вот что написала по этому поводу одна из читательниц:

Уважаемый мистер Гарднер!

Знаете ли вы, что эту задачу можно решить вообще без всяких вычислений? Ключ к решению дает последнее замечание в условии задачи. Там говорится, что, решив соответствующие уравнения в целых числах, мы однозначно определим колледж, выигравший соревнования по прыжкам в высоту. Это может происходить лишь в одном случае: когда один колледж: выигрывает соревнования по всем видам спорта, кроме толкания ядра. В противном случае при имеющейся у нас информации задачу нельзя было бы решить даже после того, как мы подсчитали бы, сколько очков получала команда за каждое место и по скольким видам спорта проводились соревнования. Поскольку колледж, выигравший соревнование по толканию ядра, не был абсолютным победителем матча, ясно, что команда, выигравшая матч, заняла первые места по всем остальным видам спорта. Следовательно, без всяких вычислений можно сразу сказать, что соревнования по прыжкам в высоту выиграл колледж Вашингтона.

9. Термит не может прогрызть 26 наружных кубов и закончить свое путешествие в центральном кубике. Это легко доказать, если представить, что кубики окрашены в шахматном порядке в какие-нибудь два цвета (они расположены, как ячейки в трехмерной шахматной доске или атомы хлора и натрия в кубической кристаллической решетке поваренной соли). Большой куб будет состоять из 13 кубиков одного и 14 кубиков другого цвета. Цвета кубиков на пути термита должны правильно чередоваться. Когда термит прогрызет все 27 кубиков, то начало и конец проделанного им хода должны принадлежать двум из 14 кубиков. Центральный же кубик принадлежит другому набору — из 13 кубиков. Следовательно, решения задачи не существует.

Задача допускает обобщение. Куб четного порядка (то есть склеенный из четного числа кубиков) состоит из одинакового числа кубиков каждого из двух цветов. Центрального кубика нет. Путь термита может начинаться с любого кубика одного цвета и заканчиваться в любом кубике другого цвета. У куба нечетного порядка маленьких кубиков одного цвета на один больше, чем кубиков другого, поэтому путь термита должен начинаться и заканчиваться на кубиках из большего набора. В кубах нечетного порядка 3, 7, 11, 15, 19… центральные кубики принадлежат меньшему набору, и проделанный термитом ход не может заканчиваться в них. У кубов нечетного порядка 1, 5, 9,13,17… центральные кубики принадлежат к большему набору, и в этих случаях ничто не мешает термиту закончить свой путь в самом центре большого куба, разумеется, при условии, что путь начинался в одном из кубиков того же цвета, что и центральный. В кубах нечетного порядка замкнутых ходов быть не может, потому что в них кубиков одного цвета на один больше, чем кубиков другого.

Многие двумерные головоломки также можно решать с помощью аналогичных «проверок на четность». Например, так можно доказать, что ладья не может перейти из одного угла шахматной доски в противоположный угол (по диагонали), побывав по одному разу на всех 64 клетках.

Глава 46. ПОЛИМИНО И «ПРОЧНЫЕ» ПРЯМОУГОЛЬНИКИ

В главе 12 уже говорилось о полимино и его создателе С. Голомбе. После опубликования статьи о полимино на страницах журнала Scientific American A957) игра стала необыкновенно популярным математическим развлечением. Обнаружились сотни новых задач и причудливых конфигураций полимино. О них и пойдет здесь речь.

Напомним, что фигуры, которыми на шахматной доске можно покрыть пять соседних клеток, образующих связную область, носят название пентамино. Существует двенадцать таких фигур. Если эти фигуры расположить так, как показано на рис. 234, то становится видно, что каждая фигура по форме напоминает какую-нибудь латинскую букву, поэтому для запоминания формы и названия фигур (каждую фигуру мы будем называть какой-нибудь буквой) достаточно знать конец латинского алфавита (Т, U, V, W, X, Y, Z) и слово FiLiPiNo.

Рис. 234

В главе 12 (см. рис. 71) было показано, что из двенадцати элементов пентамино общей площадью в 60 квадратиков можно сложить прямоугольники четырех размеров: 3х20, 4х15, 5х12 и 6х10. Те же 12 фигур можно уложить на шахматной доске размером 8x8, причем квадрат из четырех лишних клеток (площадь доски равна 64 квадратикам) может находиться в любом месте доски.