Математические головоломки и развлечения - [128]

— Каждую точку самопересечения обозначь какой-нибудь буквой. Буквы не должны повторяться, — сказал он через плечо.

Я сделал все, как надо.

— Теперь поставь карандаш в любую точку кривой и начни обводить ее. Каждый раз, дойдя до точки самопересечения, называй вслух стоящую около нее букву. Делай так до тех пор, пока не обведешь всю кривую, но в одном месте — где именно, неважно — две соседние буквы поменяй местами. Под соседними я понимаю буквы, которые расположены рядом друг с другом в направлении обхода кривой. Когда будешь переставлять буквы, мне ничего не говори.

Я начал с точки N, дошел до Р и продолжил свой путь, называя одну за другой встречавшиеся мне буквы. Я видел, что Виктор записывает их в блокнот. Дойдя во второй раз до буквы В и увидев, что дальше стоит F, я мысленно переставил их и назвал сначала F, а потом В. При этом я называл буквы без промедления, в том же темпе, что и раньше, чтобы Виктор не мог догадаться, в каком именно месте я совершил перестановку.

Едва я успел закончить, как он сказал:

— Ты переставил В и F.

— Здорово! — ответил я. — Но как ты узнал?

Виктор засмеялся и повернулся ко мне.

— Этот фокус основан на одной топологической теореме, играющей важную роль в теории узлов, — сообщил он. — Превосходное доказательство ее можно найти в книге Г. Радемахера и О. Теплица.[66]

Он перебросил мне блокнот, в котором записывал буквы. Буквы попеременно располагались то над горизонтальной прямой, то под ней:

Если не переставлять буквы, то каждая из них должна встретиться один раз вверху, над прямой, и один раз внизу. Все, что мне нужно сделать, — это найти те буквы, которые повторяются дважды вверху и внизу. Именно их и переставили.

— Красивый фокус, — согласился я.

Виктор открыл пачку крекеров и, вытащив две штуки, положил их справа и слева от себя. На обоих крекерах он нарисовал стрелки, указывающие на север (рис. 218). Зажав левый крекер между большим и средним пальцами левой руки так, как показано на рис. 218, он кончиком указательного пальца правой руки надавил на угол А и повернул крекер вокруг диагонали, соединяющей зажатые углы.

Рис. 218Как держать крекеры в фокусе со стрелками, изменяющими направление.

На обратной стороне Виктор нарисовал еще одну стрелку, также указывающую на север.

Затем он взял в правую руку другой крекер и, повернув его нажатием указательного пальца на угол В, нарисовал на обратной стороне стрелку, указывающую на юг.

— Теперь у нас все готово, — сказал он улыбаясь, — для забавного фокуса, использующего свойства симметрии квадрата относительно вращений. Обрати внимание, что на обеих сторонах левого крекера я нарисовал стрелки, указывающие на север.

Он взял крекер в левую руку и повернул его несколько раз, чтобы продемонстрировать, что обе стрелки смотрят на север.

— На правом же крекере одна стрелка указывает на юг, а другая — на север. — Взяв крекер в правую руку и быстро завертев его, он показал, что стрелки действительно направлены в противоположные стороны.

Положив оба крекера на стол, Виктор осторожно, не изменив ориентации стрелок, поменял крекеры местами.

— Покрути их, пожалуйста, — попросил он. — Я хочу, чтобы ты убедился, что на правом крекере обе стрелки указывают на юг, а на левом — одна на юг, а другая на север.

Виктор передал мне оба крекера, и, повертев их точно таким же образом, как это делал он сам, я убедился, что крекеры действительно поменялись местами.

Виктор положил крекеры перед собой, простер над ними ладони и повелел крекерам незримо вернуться на прежние места. Он повернул крекер, лежащий слева от него, и я с удивлением увидел, что обе стрелки указывают на север! Виктор взял правый крекер, и оказалось, что одна стрелка смотрит на юг, а другая — на север!

— Попробуй сам, — сказал он, — и увидишь, что все получается автоматически. В самом деле, ведь оба крекера совершенно одинаковы. Разница состоит лишь в том, какой рукой ты их держишь.

Если попросишь зрителя проверить крекеры, то можешь не сомневаться, что он возьмет правый крекер в левую руку, а левый крекер — в правую. При этом крекер с противоположно направленными стрелками он возьмет так, чтобы стрелка на лицевой стороне была обращена на север.

Я допил свой стакан. Виски в бутылке оставалось только на одну порцию. Кухня слегка покачивалась.

— А сейчас я покажу тебе фокус, — сказал я, взяв из пачки еще один крекер, — статистическое испытание. Я подброшу крекер.

Если он упадет нижней стороной вверх, остатки виски получаешь ты. Если он упадет вверх другой стороной, виски допиваешь снова ты. Если же он упадет вверх ни той, ни другой стороной, то последнюю порцию получаю я.

Виктор смотрел на меня настороженно.

— О'кей! — сказал он.

Я сжал крекер в кулаке и подбросил вверх крошки.

Мертвая тишина. Даже холодильник перестал бормотать.

— Вижу, что виски, которое я должен был выпить, бросилось тебе в голову, — сказал наконец Виктор без тени улыбки. — И должен заметить, что такой дурацкий фокус вряд ли стоит показывать старому другу.

* * *

Нестрогое доказательство принципа Гилбрейта можно провести следующим образом. Сняв часть карт (из заранее подготовленной колоды с правильным чередованием черных и красных карт), мы окажемся в одной из двух возможных ситуаций: нижние карты в каждой из половин колоды могут быть либо одного цвета, либо двух разных цветов. Предположим, что нижние карты различаются по цвету.