Математические головоломки и развлечения - [111]

Все же Барру удалось в конце концов так сложить свой пояс, что каждый конец его был прямым, а весь пояс в сложенном состоянии имел форму прямоугольника и всюду одинаковую толщину, после чего его уже нетрудно было скатать в ровный, тугой рулон.

Как Барр сложил свой пояс? При решении задачи можно пользоваться длинной полоской бумаги, концы которой обрезаны под углом 45°.

6. Уайт, Блэк и Браун[59] Профессор математического факультета Мерль Уайт, профессор философии Лесли Блэк и секретарь деканата Джин Браун завтракали за одним столом.

— Разве не удивительно, — заметила девушка, — что наши фамилии Блэк, Браун и Уайт и что у одного из нас волосы черные, у другого — каштановые, а у третьего — совсем белые?

— Действительно, забавно, — заметила особа с черными волосами. — А вы обратили внимание, что ни у одной из нас цвет волос не соответствует фамилии?

— Ей Богу, вы правы! — воскликнул (или воскликнула) профессор Уайт.

Какого цвета волосы у профессора Блэка, если цвет волос у девушки не каштановый?

7. Самолет и ветер. Самолет летит по прямой из аэропорта А в аэропорт В, а затем обратно из В в А снова по прямой. Он летит с постоянной скоростью, ветер отсутствует. Будет ли время в пути больше, меньше или останется таким же, если полет происходит по тому же маршруту, с той же скоростью, но на обоих отрезках пути дует с одинаковой скоростью ветер? Направление ветра — из А в В.

8. Сколько стоят обитатели зоомагазина? Владелец небольшого зоомагазина приобрел некоторое количество хомяков и вдвое меньшее количество пар длиннохвостых попугаев. За каждого хомяка он заплатил по два доллара, а за каждого попугая — по одному. При продаже он запрашивал за каждого из них цену на 10 % больше той, что платил сам.

Распродав всех хомяков и попугаев, кроме семи, владелец магазина обнаружил, что выручка от продажи в точности равна сумме, затраченной им на всю покупку. Следовательно, его потенциальная прибыль равна общей цене оставшихся семи хомяков и попугаев.

Сколько стоит оставшаяся живность?

Ответы

1. Разрезать тупоугольный треугольник на остроугольные можно всегда. Схема разрезания на семь остроугольных треугольников, применимая к любому тупоугольному треугольнику, показана на рис. 189.

Рис. 189Тупоугольный треугольник, разрезанный на семь остроугольных треугольников.

Нетрудно видеть, что число семь минимально. Тупой угол должен быть разрезан по какой-то прямой. Эта прямая не может доходить до противолежащей стороны, ибо тогда получился бы другой тупоугольный треугольник, который в свою очередь нужно было бы разрезать, вследствие чего схема разрезания большого треугольника не была бы минимальной. Поэтому линия, по которой разрезают тупой угол, должна заканчиваться в некоторой точке внутри треугольника. В этой точке должны сходиться по крайней мере пять линий разреза, в противном случае не все углы при этой вершине были бы острыми. Отсюда получается внутренний пятиугольник из пяти остроугольных треугольников, а общее число остроугольных треугольников становится равным семи.

Возникает вопрос: можно ли произвольный тупоугольный треугольник разрезать на семь остроугольных равнобедренных треугольников? Оказывается, этого сделать нельзя?[60] А вот прямоугольный и остроугольный треугольники (каждый из них в отдельности) можно разрезать на девять остроугольных равнобедренных треугольников, а остроугольный равнобедренный треугольник можно разрезать на четыре одинаковых равнобедренных треугольника, подобных исходному.

Квадрат можно разрезать на восемь остроугольных треугольников так, как показано на рис. 190.

Рис. 190Квадрат, разрезанный на восемь остроугольных треугольников.

Если линии разрезов симметричны относительно вертикальной оси квадрата, то точки Р и Р' должны лежать внутри заштрихованной области, граница которой образована дугами четырех полуокружностей. Возможно и асимметричное расположение линий разрезов, при котором точка Р выходит за пределы заштрихованной области, но остается внутри двух больших полукругов.

Г. С. М. Коксетер обратил внимание на удивительный факт: для любого прямоугольника, как бы мало ни отличались по длине его стороны, отрезок РР' всегда можно переместить в центр квадрата, так что линии разрезов будут симметричны не только относительно вертикальной, но и относительно горизонтальной оси.

Нельзя не упомянуть и два нерешенных вопроса. Квадрат можно разрезать на одиннадцать равнобедренных остроугольных треугольников. Минимально ли это число? Существует ли четырехугольник, который нельзя было бы разрезать на восемь или меньшее число остроугольных треугольников?

На рис. 191 показаны схемы разрезания пентаграммы (правильной пятиконечной звезды) и греческого креста на наименьшее из возможных число остроугольных треугольников.

Рис. 191Пятиугольная звезда (пентаграмма) и греческий крест, разрезанные на минимальное число остроугольных треугольников.

2. Объем сферы равен кубу ее радиуса, умноженному на 4π/3.

Площадь поверхности сферы равна квадрату ее радиуса, умноженному на 4π. Выразив радиус Луны в лунарах и предположив, что ее поверхность в квадратных лунарах равна ее объему в кубических лунарах, мы сможем определить длину радиуса, если приравняем оба выражения и решим полученное уравнение относительно радиуса. Число