Математические чудеса и тайны [заметки]
1
Автор имеет в виду стандартную колоду из 52 карт, по 13 карт каждой масти, и использует следующую нумерацию карт в пределах данной масти:
1 — туз, 2 — двойка, 3 — тройка, 4 — четверка, 5 — пятерка, 6 — шестерка, 7 — семерка, 8 — восьмерка, 9 — девятка, 10 — десятка, 11 —валет, 12 — дама, 13 — король.
2
Предположим, что у зрителя имеется k карт, у показывающего N > k карт; пусть, далее, выбрано число m < N.
Очевидное равенство
N = k + m + (N — k — m)
является математическим эквивалентом утверждения, показывающего: «у меня имеется на m карт больше, чем у зрителя, и еще столько, чтобы от числа карт зрителя (k) досчитать до числа N — m».
Число m следует выбирать маленьким; если m + k будет больше, чем N, то разность N — k — m окажется отрицательной.
3
Истинная цель действий показывающего сводится к отсчету с помощью зрителя сорока карт, причем так, чтобы зритель не догадался об этом. Если x>1, х>2, х>3, x>4 — числовые значения взятых карт, то откладывается соответственно 10 — x>1, 10 — x>2, 10- x>3, 10 — x>4 — карт; всего отложено 40 — x>1 — х>2 — x>3 — х>4 карт, следовательно, до 40 не хватает как раз х>1 + x>2 + x>3 + x>4 карт.
4
Девятая карта снизу является сорок четвертой сверху. Если совпадения не происходит, откладывается 11 карт.
Если совпадение происходит на карте с числовым значением n, то отсчитано, считая и ее, 11 — n карт; зритель затем отсчитывает n карт, что дает снова 11 карт. Четырехкратное повторение процедуры дает 44 карты, что и требуется.
5
«Снять» колоду означает: разделив колоду на две части, поменять их местами. Если карты колоды записать последовательно на окружности (образовать «цикл»), то операция «снятия», не меняя порядка карт в цикле, изменяет только начало отсчета.
6
При снятии восьми карточной колоды вида ABCDABCD вторая четверка карт всегда совпадает с первой.
7
Для любого числа между 10 и 19 разность между этим числом и суммой его цифр всегда равна 9, так что мы после указанных операций всегда попадаем на девятую карту.
8
Для любого числа между 20 и 29 разность между этим числом и суммой его цифр всегда равна 18. Чтобы фокус удался, нужно, чтобы часть колоды, «снятая» зрителем, насчитывала не менее 20 и не более 29 карт.
9
После ряда снятий расположение карт в тринадцатикарточной колоде с первоначальным расположением (верх) 13, 12, 11…. 3, 2, 1 (низ) заменится следующим: (верх) k — 1, k — 2…. 2, 1, 13, 12…. k (низ), где 1 <= k <= 13. Выше карты 13 лежит k — 1 карт, и сама карта 13 является k-й картой сверху.
Затем в результате перевода одной карты снизу колоды наверх на k-м месте сверху будет лежать карта 1, в результате перевода двух карт — карта 2 и т. д.; таким образом, если в результате снятия перенесено снизу вверх, положим, m карт, то на k-м месте сверху будет лежать карта m, что и требуется.
10
Пусть m < 26 и n > 26 — числа, названные зрителем. Если первоначальное расположение карт в колоде было (верх) 1, 2, 3…., m — 1, m, m + 1…. n — 1, n, 51, 52 (низ), то после первой процедуры оно становится следующим:
(верх) m — 1, m — 2…. 1; m, m + 1, n — 1, n…, 51, 52, (низ), а после второй процедуры — следующим: (верх) n — 1, n — 2…, m + 1, m, 1, 2…. m — 1; n…. 51, 52 (низ.) Очевидно, если отсчитать сверху n — m карт, следующей будет 1, что и требуется.
11
Потому что число костей, содержащих на одной из половинок заданное число очков, четно (если не принимать во внимание дубля), а внутри цепи такие кости расставлены парами.
12
Если m — наименьшее число в указанном квадрате, то весь квадрат имеет вид
и сумма всех чисел квадрата равна 9m + 72 = 9(m + 8).
13
Сумма чисел, выбранных по одному из каждой строки и каждого столбца квадрата, равна сумме чисел на диагонали. Эта последняя есть сумма четырех членов арифметической прогрессии (с разностью 8) и равна, в силу известной формулы, удвоенной сумме первого и последнего членов.
14
Если зритель задумал k, то до двенадцати остается 12 — k, или 20 — 8 — k, что и отсчитывается показывающим.
15
Два результата, которые нужно сложить, располагаются на циферблате симметрично относительно диаметра, проходящего через начало отсчета (указанное игральной костью).
Так как шкала часов равномерна, то сумма результатов равна удвоенному числу в начале отсчета, если заменить при этом 12 на нуль, 11 — на 1 и т. д., а это означает, что если результат больше 12, то из него нужно вычесть 12, а затем полученную разность разделить пополам.
16
Обозначим первоначальное число спичек через d. После первой операции в крайних кучках останется по d — 3 спичек, а в средней их станет d + 6. После второй операции, состоящей в переносе d — 3 спичек из средней кучки в крайнюю, в средней останется (d + 6) + (d — 3) = 9 спичек.
17
Тот же принцип, который был отмечен в примечании >16).
18
Математическая суть этого фокуса состоит в том факте, что сумма 2q + 3r + 5s получает шесть различных значений, когда q, r, s принимают значения 1, 2, 3 или какую-нибудь их перестановку.
Между прочим, коэффициенты 2, 3, 5 — не наименьшие из возможных в этом фокусе. Можно было бы использовать с тем же успехом, например, коэффициенты 1, 3, 4 (А совсем не берет спичек, Б берет дважды столько, сколько у него на руках, В — трижды столько); при этом все суммы не превосходят 19, т. е. можно ограничиться 19 спичками.
19
Счет заканчивается на той монете, которая окажется последней, если ножку девятки монета за монетой накладывать на кольцо по часовой стрелке, начиная от монеты, следующей (по часовой стрелке) за той, к которой подходит ножка.
20
Общее число шашек, стоящих в четных вертикальных рядах, изменяется (в ту или иную сторону) ровно на 1 при каждом ходе. При четном числе ходов четность этого числа не изменится и останется такой же, как при первоначальном размещении шашек. Для размещения AAA это число нечетно, а для размещения ВВВ оно четно.
21
Ниже приводим 8 таких карточек:
22
Можно предложить также следующую систему раскраски пластинок и нанесения чисел:
23
Сумма тонких цифр равна 15, а разность между жирной цифрой и тонкой на каждой фишке есть 5. Поэтому если в начале опыта было k фишек с жирными цифрами, то общая сумма всех цифр, открытых зрителям, была равна 15 + 5k. Допустим, что зритель перевернул i фишек с жирными цифрами и j — с тонкими. Показывающий просит перевернуть обратно эти i фишек и еще k — i фишек, остающихся с жирными цифрами, в итоге общая сумма будет
15 + 5k + 5j — 5(k — i) = 15 + 5(i + j) = 30,
причем число фишек с жирными цифрами оказывается равным i + j = 3. Пусть, далее, зритель переворачивает и закрывает р фишек с жирными и q с тонкими цифрами. В результате общая сумма цифр на шести фишках станет
30 — 5p + 5q = 30 — 5p + 5(3 — p) = 45–10p = 10(3 — p)+15,
что и дает схему вычислений автора.
Можно упростить счет, если не заставлять зрителя перевертывать накрываемые фишки; тогда сумма цифр накрытых фишек получится вычитанием из 30 суммы цифр открытых фишек.
24
То же требование о нетрнвнальности следует отнести и к проблеме о разрезании криволинейных плоских фигур. Ясно, что если разрезание и составление по-новому допускает квадрат, то допускает разрезание и составление также плоская фигура с любой границей, содержащая данный квадрат внутри себя.
25
Ряд, аналогичный ряду Фибоначчи, но начинающийся не с 1 и 1, а с любых чисел а и Ь, имеет вид
а, Ь, a + b, a +2b, 2a + 3b, За + 5b, 5а + 8Ь, 8a + 13b, 13a + 21b, 21a + 34b…
Его коэффициенты суть числа Фибоначчи, а сумма выписанных десяти членов равна, как легко сосчитать, 55a + 88b — на одно Ь меньше, чем второе из следующих за написанными чисел ряда.
26
Если N>0 — год рождения, N>1 — год выдающегося события, a N>2 — текущий год, то мы получает сразу
N>0 + N>1 + (N>2- N>0) + (N>2 — N>1) = 2N>2,
что и требуется.
27
На стр. 123 приведена схема действий в этом фокусе.
Индексы 1, 2, 3, 4 означают ключевые числа, которые запоминает показывающий. Из схемы видно, что задуманное число есть сумма получающихся к концу процесса ключевых чисел. Интересно, что количество чисел, которые можно задумать, можно увеличить. Так, для числа 11 схема остается без изменения, для 12 придется еще раз вычесть 9, что даст третью четверку, и т. д.
28
Доказано, что частота появления любой цифры в десятичном разложении почти всех чисел одинакова и равна 1/10 (а в разложении с базой m равна — m/10). Числа, для которых это не выполняется, как говорят, образуют множество меры нуль, т. е, могут быть заключены в систему числовых промежутков с какой угодно малой общей длиной. См. статью А. Я. Хинчина в 1-м выпуске «Успехов математических наук» за 1936 год.
