Единственно плодотворным для конкретного исследования количественного аспекта действительности принципом оказалась в этих условиях атомистика Левкиппа — Демокрита. Более того, сам атомистический принцип возник, по-видимому, именно как единственно возможный выход из трудностей, до предела обостренных столкновением пифагорейской и элейской школ. Представление об атоме как о мельчайшей, физически неделимой частице позволяло сохранить в составе представления о реальном мире оба взаимно исключающих друг друга момента количественного (пространственно-временного) аспекта действительности — и прерывность и непрерывность, и неделимость и делимость, и единое и многое, и бесконечное и конечное (т. е. величину). Атомистика позволяла истолковать число, выражающее форму и порядок тел в пространстве и времени, как чисто объективную характеристику материального мира, не зависящую от произвола людей или богов. Согласно учению Левкиппа — Демокрита, любое чувственно воспринимаемое тело состоит из очень большого (отнюдь не бесконечного) числа атомов, «неделимых». Поэтому величина есть функция от числа неделимых. Неделимое выступает, таким образом, как естественная единица, как реальное основание измерения и счета. Основные понятия математики (арифметики и геометрии) выстраивались, таким образом, в строгую систему, построенную к тому же на чисто материалистическом фундаменте. И прерывность и непрерывность, и делимость и неделимость, и единство и множество, и бесконечность и конечность определялись здесь как одинаково объективные свойства и характеристики «тела», ибо понятие тела формально объемлет как «атом», так и чувственно воспринимаемое тело. Реальностью количества тем самым оказывалась телесность, а не некоторые «бестелесные» сущности вроде единицы, точки, линии или поверхности. Эта установка атомистики отнюдь не была только философско-гносеологическим принципом. Она являлась также могучим эвристическим принципом развития собственно математических построений. Идея Демокрита позволяла перекинуть мост между бытием и его образами в чувственном созерцании, в частности между числами и геометрическими фигурами. Толкуя, например, окружность как многоугольник с очень большим числом сторон, равным числу «неделимых», Демокрит теоретически разрешил проблему числа «пи». При этом толковании бесконечность частичной дроби выступала как показатель того факта, что масштаб (мера) измерения взят неточно, приближенно, огрубленно. В том случае, когда единицей измерения оказывается «неделимое», число «пи» должно выразиться в целом конечном числе. Рассматривая атом как естественный объективно допустимый предел деления тел, как естественную единицу измерения, Демокрит ставил математику на прочный фундамент физической реальности. Именно в атомистическом строении тел обнаруживалась та однородность и одноименность, которая вообще позволяет рассматривать тела любой формы и вида как математически соизмеримые, как различающиеся между собой только количественно. По существу только здесь было обосновано право математики рационально соотносить и сравнивать между собой линию с точкой, линию — с поверхностью, поверхность — с объемом, кривую — с прямой, число — с фигурой и т. д. Количество только здесь переставало быть просто собирательным названием для совершенно разнородных понятий и выступало как тот общий для всех математических понятий предмет, без которого они, строго рассуждая, должны рассыпаться.
Атомистика, направленная своим острием против спиритуалистических концепций внешнего мира, будто внешний (телесный) мир так или иначе состоит из бестелесных, непротяженных точек, из линий, лишенных толщины, и поверхностей, лишенных глубины, и оформляется бестелесными же числами, попадала в естественный конфликт с официальной греческой математикой [ср. Аристотель: «Постулируя неделимые тела, они (Демокрит и Левкипп) вынуждены впасть в противоречие с математикой»]. Греч. геометров смущало, что при допущении мельчайшей, даже мысленно неделимой частицы оказывается невозможным разделить точно пополам отрезок, состоящий из нечетного числа неделимых. Две половины такого отрезка никогда не могут быть «равными», «конгруэнтными», а будут только казаться таковыми в силу грубости наших чувств, слабой разрешающей силы глаза. Но тем самым «равенство», «конгруэнтность» и им подобные понятия, на которых геометрия основывала свои доказательства, оказывались, строго рассуждая, лишь приблизительными, лишь огрубленными образами. Отстоять свою «абсолютность» геометрия в этих условиях могла, только провозгласив суверенность геометрических образов и построений от внешнего мира, причем не только от чувственно воспринимаемого многообразия эмпирии, но и от бытия в философском смысле, от физической реальности в смысле Демокрита. Интересы геометрии в этом пункте прямо смыкались с интересами философских учений, враждебных атомистике, Официальная математика поэтому шла в общем и целом в фарватере идеалистических философских систем и получила от них ярлык точнейшей из наук и квалификацию своих аксиом как вечных и неизменных.
