Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - [8]

«Если возможно существование пространств с другими измерениями, то, скорее всего, Бог создал бы их, ибо его творения заключают в себе все величие и разнообразие, на которое они способны».

Геометриями, которые предсказал Кант, являются известные в наше время многомерные неевклидовы геометрии.

В формальном смысле евклидова геометрия определена в первых шести книгах «Начал», а неевклидовы геометрии получаются путем отказа от пятого постулата.

В формулировке Плейфера этот отказ означает две возможности: либо отрицать уникальность параллельной прямой, либо отрицать ее существование. Это может быть выражено следующими альтернативными утверждениями.

1. В плоскости через точку Р, не лежащую на данной прямой l, проходит более одной прямой, параллельной данной.

2. В плоскости через точку Р, не лежащую на данной прямой l, не проходит ни одна прямая, параллельная данной.

* * *

ИММАНУИЛ КАНТ (1724–1804)

Знаменитый немецкий философ Иммануил Кант получил строгое образование, при котором латинскому языку и религии уделялось больше внимания, чем математике и естественным наукам. И только в университете он по-настоящему занялся физикой и математикой. Но когда умер его отец, Кант был вынужден оставить учебу и работать репетитором, чтобы прокормить себя. В 1755 г. благодаря помощи друга он продолжил образование и получил докторскую степень. Кант в конечном счете стал преподавателем, работая в университетах в течение 15 лет, читая лекции по истории, естественным наукам и математике, а также по философии. Кант считается одним из самых ярких мыслителей современной Европы. С самого начала его теории оказывали огромное влияние на интеллигенцию и до сих пор являются основой современной философии, которая постоянно ссылается на него. Идеи Канта нашли отражение во многих дисциплинах: в философии, праве, этике, логике… Вместе с Платоном, Аристотелем и Декартом Кант является одним из основоположников западной философской мысли, отцом современной философии.

* * *

Чтобы в полной мере понять эти формулировки, нам в первую очередь необходимо выйти за рамки нашего восприятия того, чем являются параллельные линии. Новая геометрия может быть построена таким способом: мы сохраним все постулаты Евклида, но только заменим пятый постулат его альтернативой. Такая геометрия позволяет получать логичные результаты и не имеет внутренних противоречий. Первая такая геометрия, так называемая гиперболическая геометрия, была предложена Николаем Лобачевским (1792–1856) и Яношем Бойяи (1802–1860). Другую геометрию, так называемую эллиптическую геометрию, сформулировал Бернхард Риман (1826–1866).

Развитие неевклидовых геометрий проходило в два этапа: сначала были попытки доказать пятый постулат Евклида, а потом появились новые геометрии с альтернативным пятым постулатом, которые сосуществовали с евклидовой геометрией.

Такой подход предполагает существенные изменения в нашем восприятии реальности. Например, пятый постулат Евклида можно рассматривать в формулировке о сумме углов треугольника и сформулировать альтернативные постулаты. Сумма трех внутренних углов любого треугольника равна 180° — но только в мире Евклида, где параллельные линии можно продолжать до бесконечности и пространство не искривлено. А если бы Евклид побывал в бесконечности и увидел, что там произошло с параллельными линиями? А вдруг они бы пересеклись? Это бы значило, что пространство искривлено, а сумма углов треугольника больше 180°, как если бы треугольник был нарисован на поверхности апельсина. Аналогично в гиперболической геометрии, где параллельные линии неумолимо расходятся, сумма углов треугольника меньше 180°.

Евклидова геометрия содержит основные понятия любой геометрии, такие как точки, прямые и плоскости, но эти понятия в других геометриях необходимо пересмотреть. В новой геометрии прямой линией будет называться любая линия, которая является кратчайшим расстоянием между двумя точками, а плоскостью будет такая поверхность, которая обладает следующим свойством: если две точки на прямой принадлежат этой поверхности, то все другие точки на этой прямой также будут принадлежать этой поверхности.

Эти идеи действительны во всех геометриях и характеризуют новый подход к восприятию форм. Неевклидовы прямые линии могут оказаться искривленными, а в так называемой сферической геометрии сфера считается плоскостью и большие окружности на ее поверхности являются прямыми линиями. Обе геометрии имеют общую терминологию, потому что и там, и там прямая линия является самой простой линией, а плоскость — самой простой поверхностью.

Как же мы можем быть уверены в том, что две прямые параллельны? Нам нужно продолжить их в бесконечность и убедиться, что они никогда не пересекутся. Человеческий разум владеет абстрактным понятием прямой линии, имеющей только длину, но не ширину. Можно представить себе две линии, которые никогда не пересекаются и всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Все это можно представить, но нельзя доказать экспериментально. В конце концов, евклидова геометрия является такой же абстрактной идеей, как и все остальные.