Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - [6]

«Сумма углов треугольника равна двум прямым углам (180°)».

Как потом доказал сам Евклид, это утверждение эквивалентно пятому постулату. Все треугольники образованы пересечением двух непараллельных прямых, которые затем пересекаются третьей. Параллельные линии в пятом постулате представляют собой особый случай, когда третья прямая перпендикулярна двум другим, и тогда два угла в сумме равны 180°, не оставляя ничего третьему углу треугольника.

Следовательно, по Евклиду нельзя построить треугольник с двумя прямыми углами.

Знаменитая теорема Пифагора также является еще одним частным случаем пятого постулата, когда только один из углов равен 90°:

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон».

Таким образом, оказывается, что, по сути, существует несколько утверждений, эквивалентных пятому постулату, о которых сам Евклид, возможно, не догадывался.

Утверждения, эквивалентные пятому постулату

Пятый постулат, по сути, вызвал сумятицу. Понятие параллельных прямых, которые можно неограниченно продолжать, фактически вводило понятие бесконечности.

Кроме того, по формулировке Евклида пятый постулат больше похож на теорему, чем на универсальную истину. Таким образом, на протяжении веков многие математики были убеждены, что это на самом деле свойство прямых, которое может быть доказано, и поэтому пытались найти доказательство. В результате появилось большое количество эквивалентных формулировок пятого постулата. Наиболее важные из них (именно с точки зрения новых геометрий) приведены ниже.

Греческий философ Прокл (410–485) был самым известным представителем афинской школы математики. Его постулат о равноудаленности формулируется следующим образом:

«Прямая, параллельная данной прямой, сохраняет постоянное расстояние от нее».

* * *

ГЕОМЕТРИЯ В ИСКУССТВЕ

Художники в своих работах используют точки, прямые линии и другие геометрические объекты. Их работы очень помогают при ответе на вопросы «что такое точка?», «что такое прямая линия?», «что мы имеем в виду под параллельностью?»Василий Кандинский (1866–1944) был русским художником, поэтом, драматургом и педагогом. Научные исследования в области права и экономики он сочетал с занятиями графикой и живописью. Его преподавательский опыт отражен в трактате «Точка и линия на плоскости» (1925), где Кандинский определил прямую линию как «след перемещающейся точки».

* * *

Великий французский математик Адриен Мари Лежандр (1752–1833) пытался доказать пятый постулат в книге «Начала геометрии», которая многократно переиздавалась и переводилась на многие языки. Более 40 лет он искал доказательство пятого постулата, которое было бы математически строгим, но в то же время понятным читателям и студентам. К сожалению, он умер, так и не увидев развития неевклидовых геометрий. Однако именно он сформулировал постулат для углов треугольника:

«Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым».

Тут мы должны упомянуть Яноша Бойяи, о котором мы позже расскажем более подробно. Отец Бойяи, который также был математиком, безуспешно пытался доказать пятый постулат и поэтому не хотел, чтобы его сын зря тратил время на решение этой задачи. Однако Яношу было суждено сделать гораздо большее. Все началось с постулата о трех точках:

«Через любые три точки, не лежащие на прямой линии, всегда можно провести окружность».

Мы также более подробно рассмотрим результаты «принца математики» Карла Фридриха Гаусса, который начал работать над пятым постулатом в 1792 г. в возрасте 15 лет и к 1817 г. убедился, что этот постулат совершенно независим от других четырех. Гаусс сформулировал постулат о площади треугольника:

«Существует треугольник сколь угодно большой площади».

Особенно важным был результат шотландского математика и геолога Джона Плейфера (1748–1819). Именно его «аксиома параллельности», в отличие от сложной формулировки Евклида, в настоящее время преподается в школах и наиболее часто встречается в учебниках. И действительно, ее часто принимают за оригинальную формулировку пятого постулата Евклида. Ее ценность заключается в простоте — аксиому Плейфера гораздо легче понять, чем формулировку Евклида:

«В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной».

Эту аксиому также можно сформулировать следующим образом: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, которая не пересекает данную прямую (см. рис. V' на стр. 31).

Как бы то ни было, даже такое ясное и очевидное утверждение, как аксиома Плейфера не смогло убедить многих геометров. Откуда же эта одержимость идеей бросить вызов бессмертному Евклиду?

* * *

ТЕОРЕМА О БОЛЬШОЙ ТОЧКЕ

Эта теорема представляет собой довольно необычный результат, который можно сформулировать следующим образом:

«Число прямых, параллельных данной прямой, которые можно провести через точку вне этой прямой, зависит от того, насколько большой является эта точка».

Через большую точку вне прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной.

Из этого также следует, что «через большую точку вне прямой можно провести сколь угодно много параллельных (и перпендикулярных) прямых к данной прямой».