Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - [10]
Арабские математики также пытались доказать пятый постулат. Первым из них былИбн ал-Хайсам (965—1039), известный на Западе как Альхазен. Он исходил из предположения, что если четырехугольник имеет три прямых угла, то четвертый угол тоже должен быть прямым, откуда Альхазен заключил, что через точку вне прямой проходит только одна параллельная линия. Его заключение основывается на том, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, является прямой линией. Обратите внимание, что его аргументы тоже основаны на понятии равноудаленности, хотя и не так явно. Таким образом, его предположение (если четырехугольник имеет три прямых угла, то четвертый угол тоже прямой) эквивалентно пятому постулату Евклида: Альхазен использует пятый постулат, чтобы доказать пятый постулат!
Персидский математик Омар Хайям (1050–1123) был известен как в арабском мире, так и на Западе благодаря своим работам по астрономии, алгебре и, в частности, благодаря вкладу в геометрию. Его знаменитая работа «Об истинном смысле параллельных и об известных сомнениях» содержит аргументированные рассуждения с использованием четырехугольников. Эта теория лишь через 600 лет была развита итальянским философом и математиком Джироламо Саккери.
Хайям рассматривал четырехугольник с вершинами А, В, С и D, такой, что стороны АВ и CD конгруэнтны (то есть одна из них может быть наложена на другую), а углы при вершинах А и D являются прямыми. Омар Хайям доказал, что углы при вершинах В и С также конгруэнтны, но он не утверждал, что они должны быть прямыми. Четырехугольник такого типа имеет следующий странный вид:
В эпоху Возрождения дальнейшие исследования связаны с работой Христофора Клавия (1538–1612), который в 1584 г. составил комментарии к «Началам». Он добавил также свои предложения, увеличив их количество до 1234.
Между 1603 и 1607 гг. он выпустил первое издание «Начал», предназначенное для Китая. Именно этот текст позднее использовали в своих исследованиях Саккери и Декарт.
Из-за своих дополнений к «Началам» Клавий прославился как «Евклид шестнадцатого века». Его работа была довольно радикальной, но он многое сделал в других областях. Он являлся активным сторонником григорианского календаря, и именно благодаря ему после четверга, 4 октября 1582 г. по юлианскому календарю, идет пятница, 15 октября 1582 г. по григорианскому календарю. Расчеты Клавия позволили перейти от одного календаря к другому, удалив 10 дней из истории человечества!
Клавий привел доказательство пятого постулата, снова использовав для этого сам пятый постулат: линия, равноудаленная от данной прямой линии, также является прямой. Несмотря на другие свои достижения, Клавий не достиг успеха в попытке исправить и дополнить великого мастера.
Преподаватель Оксфордского университета Джон Валлис (1616–1703) был одним из пионеров современной математики. Он ввел новую интерпретацию пятого постулата, отказавшись от идеи равноудаленности и использовав рассуждения с треугольниками. Валлис показал, что «для любого треугольника можно построить другой треугольник с теми же углами и пропорциональными сторонами». Однако и это утверждение также эквивалентно исходному постулату:
Все аргументы так или иначе сводились к утверждениям, эквивалентным пятому постулату, потому что сам подход был ошибочным: в доказательстве уже использовалось то, что они хотели доказать.
Казалось, ситуация зашла в тупик, но тут появился Джироламо Саккери. Итальянский математик воспользовался методом доказательства от противного, при котором сначала формулируют предположение, противоположное тому, что хотят доказать, а затем логически доказывают, что это предположение ведет к противоречию. Таким образом, Саккери подумал, что ему удалось доказать постулат, но потом он понял, что так и не получил убедительного противоречия.
Его работа неявно предполагает существование других геометрий, которые возникают именно из-за невозможности достижения противоречия, исходя из предположения о ложности пятого постулата. Сам не осознавая того, Саккери создал новую геометрию, в которой пятый постулат заменен противоположным ему утверждением.
Саккери начал с идеи Омара Хайяма и рассмотрел тот же четырехугольник ABCD, у которого стороны АВ и CD конгруэнтны, а углы при вершинах А и D прямые. Четырехугольники такого вида называются теперь четырехугольниками Саккери.
Чтобы доказать пятый постулат, Саккери показал, что углы при вершинах В и С прямые. В соответствии с пятым постулатом, угол В равен углу С. В этом случае существует три возможности.
1. Гипотеза о прямых углах: углы В и С являются прямыми.
* * *
ДЖИРОЛАМО САККЕРИ (1667–1733)
Саккери еще молодым человеком вступил в орден иезуитов и преподавал теологию в иезуитском колледже в Милане. Позднее он преподавал философию в Турине. Но его интересы этим не ограничивались. Работая преподавателем математики в университете Павии, он занимался пятым постулатом Евклида и представил результаты исследований в своем главном труде Euclides ab omni naevo vindicatus («Евклид, очищенный от всех пятен»).
