Когда приходит ответ - [55]

Двумя знаками можно выразить очень многое. Есть игра, очень веселая и не такая уж бессмысленная: отвечайте только «да» или «нет», и я отгадаю все, что вы задумаете. Современный телеграф, говорящий на азбуке Морзе, изъясняется лишь точками и тире. Но с помощью точки и тире можно передать любую мысль и даже написать, если угодно, «Войну и мир».

Выбор одного из двух — первое, что делает логика. И в ее алгебре вполне достаточно иметь только два числа. Древнейший счет испытывал в колыбели математической логики свое второе рождение. Для новых целей — для того, что можно было бы назвать, выражаясь по-современному, моделированием мыслей.

Кстати, с развитием естествознания мысль все больше привыкала и к идее различных интерпретаций. Казалось бы, самые далекие друг от друга явления обнаруживали поразительное сходство в своих внутренних отношениях и закономерностях. Одинаковые приемы исследования становились годными и в теории чисел, и в геометрии, и в оптике, и в механике материальных тел. Одни ученые изучали, скажем, движение небесных светил, другие — поведение корабля на волнах, третьи — колебания маятника, четвертые — электромагнитные волны… Каждый описывал математически свои явления, выводил свои дифференциальные уравнения. А когда их сличали, оказывалось, что уравнения одинаковы.

Природа заявляла о своем единстве. О том единстве, о котором еще смутно грезили греки, размышлял Лейбниц, строя свои «универсалии», возвещал Буль в своих стихах, в своей системе и о котором с полной научной ясностью заявил диалектический материализм.

Почти в то же время, как из ирландского городка Корк выходят идеи булевой алгебры, тронувшие лишь умы одиночек, в Лондоне Фридрих Энгельс набрасывает общий план своей «Диалектики природы», которой суждено было совершить переворот в мировоззрении поколений. Пункт третий этого плана: «Диалектика, как наука о всеобщей связи…» И еще раз о том же: «4. Связь наук. Математика, механика, физика, химия, биология…»

Время раздвигает этот диалектический ряд. Физики моделируют различные процессы, изображая, например, потоки жидкости в виде электротоков или уподобляя ход времени быстрому вращению в центрифугах. Математики находят способы изучать свойства одной математической системы с помощью свойств другой системы, служащей как бы ее моделью. Все тот же метод различного толкования одних и тех же знаков, формул, соотношений.

Но продолжить связь наук от математики… до логики решался далеко не всякий. Хотя робким умам сам Энгельс подсказывал возможный шаг, говоря о сходстве, о родстве математики постоянных величин с логикой. И все же иным казалось, что в булевом методе таится какое-то посягательство на самое сокровенное, что отличает человека, — на его мысль. Как?! Свести все богатство мышления к каким-то формулам, подменить язык слов, живой, трепетный язык, — бездушными значками! Недоумения и недоразумения шли рука об руку.

Когда-то во владения логики были допущены так называемые «круги Эйлера», помогающие изображать пересечение классов. То была графическая символика. Но символика алгебры — нет, это уж что-то чересчур! И логика упорно обходила ее и обходилась без нее. И, вопреки надеждам Лейбница, человечество продолжало спорить, все также яростно бросаясь словами.

Алгебра логики была использована для других целей. Ее подхватили математики — ее уже основательно разработанный аппарат, ее формулы и приемы. Ухватились за нее, как за верный инструмент строго логических доказательств. Тень Лобачевского стояла над всей математикой, звала критически взглянуть в самые основы.

Взяв под сомнение знаменитый пятый постулат геометрии Евклида — «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной», — и, выдвинув вместо него другой — «…можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые», — Лобачевский построил новую геометрию. Геометрию, гораздо более широкую и объемлющую, в которой и сама тысячелетняя геометрия Евклида стала лишь частным случаем. И доказал, что его новая геометрия свободна от противоречий.

Всего лишь небольшая замена в одной исходной точке — и полный пересмотр!

Казанский переворот Лобачевского, дойдя наконец до сознания ученого мира, потряс устои математики. И заставил на многое посмотреть заново, более строго отнестись к тому, что издавна казалось таким непреложным и твердо установленным. К аксиомам, к этим «очевидным истинам», которые кладутся в фундамент всякой теории или системы. К тем следствиям, которые из этих аксиом выводятся. И прежде всего к тем способам доказательства, которыми при этом пользуются.

А доказательство — это логика, это цепочка связанных понятий, суждений, умозаключений. Тут-то и могла пригодиться алгебра логики с ее разработанным аппаратом, с правилами вывода и преобразований. Математиков абстракция не пугает. Вложив определения аксиом и теорем в знаки и связки между ними, они проделывают затем по строгим правилам разные операции, не задумываясь на каждой ступеньке о содержании. Лишь в конце смотрят: отвечает ли полученный вывод истине или нет? Не показывает ли конечная формула противоречий? Недаром математики любят говорить о полезном и продуктивном формализме. В отличие от пустого формализма, когда идет бессмысленная игра в символы без всякого содержания и в конце и в начале.