Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр. - [11]

Шрифт
Интервал

Несмотря на то что первые понятия множеств были выведены еще Бернардом Больцано (1781-1848), создателем этой теории является Георг Кантор (1845-1918). Можно сказать, что она родилась в 1874 году в работе Кантора, опубликованной в престижном «Журнале Крелля» под названием Über eine Eigenschaft des Ibegriffes aller reellen algebraischen Zahlen («Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»).

Впервые аксиомы для теории множеств вывел немецкий математик и логик Готлоб Фреге (1848-1925), который хотел придать ей логическую структуру. Эта серия аксиом должна была не только обеспечить правильность операций с множествами, но и неким образом, явно или нет, выявить само определение множества. Так или иначе, эта система аксиом просуществовала очень недолго, так как в теории был открыт коварный парадокс.


ПАРАДОКС РАССЕЛА

В 1903 году Бертран Рассел доказал, что в теории множеств Кантора таится противоречие, и поставил под вопрос само определение множества. Кантор понял это, когда столкнулся с тем, что множество всех множеств не может существовать, так как множество никогда не может являться частью самого себя. Предположим, что существует два типа множеств, — те, что принадлежат сами себе, и те, которые не принадлежат. Назовем, например, множество всех существующих столов М. Пусть m — произвольный стол. Следовательно, m принадлежит М:

m ϵ М

Разумеется, множество всех столов не является столом. Следовательно, мы можем утверждать, что

М┐ϵ М.

(здесь ┐ϵ  заменяет отсутствующий символ "перечеркнутое  ϵ ")

Таким образом, это пример множества, не принадлежащего самому себе. Теперь рассмотрим множество T, состоящее из всех множеств, которые содержат более трех членов. Если мы возьмем множество р, образованное парой одинаковых элементов, то получим, что

р┐ϵ Т.

У множества T, разумеется, больше трех элементов — их бесконечное количество, поэтому

T┐ϵ T.

Следовательно, это пример множества, принадлежащего самому себе.

Тогда Рассел вводит следующее множество R:

«R состоит из множеств, которые не являются элементами самих себя».

Исходя из предыдущих примеров, мы имеем:

M┐ϵ R и T┐ϵ R.

В этом случае вопрос Рассела звучит так:

R┐ϵ R?

Если ответ да, то R не может быть элементом R, так как содержит само себя и, следовательно, не принадлежит само себе. Если же ответ нет, то множество R не принадлежит само себе. Таким образом, в любом случае мы получаем элемент, который одновременно и принадлежит, и не принадлежит некоему множеству, что является парадоксом, или, выражаясь языком логики, противоречием. Проблема, лежащая в его основе, заключалась в том, что в рамках теории Кантора ничто не запрещало образовывать такие множества, как множества Рассела. Следовательно, надо было создать такую аксиоматику, которая не оставила бы места множествам такого типа.


МЕТОД ФОН НЕЙМАНА

Немецкий логик и математик Эрнст Цермело (1871-1953) сформулировал семь аксиом, с помощью которых не только хотел придать логическую основательность теории множеств, но и избежать таких спорных ситуаций, как в парадоксе Рассела. Для этого Цермело дал определение основным понятиям и их отношениям. За аксиому принималось существование самого множества, пустого множества, объединения и пересечения множеств, а также части множества. Таким образом гарантировалось точное существование множеств, на которых можно было основываться и которые позволяли доказать фундаментальные для анализа теоремы. В то же время из игры исключались ненадежные множества, которые могли привести к парадоксам.

Бертран Рассел, один из основателей аналитической философии. Портрет маслом кисти Роджера Фрая, 1923 год.

В Геттингенском университете фон Нейман (фотография 1940-х годов) познакомился с Давидом Гильбертом, чьи труды оказали на него большое влияние.

Медная гравюра, на которой изображено здание Гёттингенского университета и библиотеки. Около 1815 года.


Позже теория множеств Цермело была дополнена и расширена Абрахамом Галеви Френкелем (1891-1965). Так появилась система аксиом, ставшая известной как аксиоматика Цермело — Френкеля. Пользуясь сравнением Анри Пуанкаре (1854-1912), теперь овцы были окружены забором, который защищал их от волков, оставшихся снаружи, но при этом было неизвестно, не спрятался ли какой-нибудь волк внутри. Другими словами, система Цермело — Френкеля позволяла создавать все необходимые для математики множества, но не исключала вероятности существования множеств, принадлежащих самим себе, — затаившихся внутри ограды волков.


Существует такое бесконечное множество А, которое не является слишком большим.

Джон фон Нейман


Фон Нейман предложил для решения этой проблемы два способа, которые дополняли друг друга: аксиому регулярности и понятие класса. Обе эти модели он изложил в 1928 году в своей докторской диссертации Die Automatisierung der Mengenlehere {«Аксиоматизация теории множеств»), которую защитил в Будапештском университете.

При помощи аксиомы регулярности и следуя аксиомам Цермело фон Нейман строил множества снизу вверх, так, что если одно множество принадлежало другому, то оно обязательно было первым в последовательности. При этом исключалась вероятность того, что множество принадлежит само себе. Важно подчеркнуть, что метод, использованный фон Нейманом для демонстрации этого результата, стал фундаментальным для многих доказательств теории множеств и используется по сей день.


Рекомендуем почитать
Жизнь сэра Артура Конан Дойла. Человек, который был Шерлоком Холмсом

Уникальное издание, основанное на достоверном материале, почерпнутом автором из писем, дневников, записных книжек Артура Конан Дойла, а также из подлинных газетных публикаций и архивных документов. Вы узнаете множество малоизвестных фактов о жизни и творчестве писателя, о блестящем расследовании им реальных уголовных дел, а также о его знаменитом персонаже Шерлоке Холмсе, которого Конан Дойл не раз порывался «убить».


Русская книга о Марке Шагале. Том 2

Это издание подводит итог многолетних разысканий о Марке Шагале с целью собрать весь известный материал (печатный, архивный, иллюстративный), относящийся к российским годам жизни художника и его связям с Россией. Книга не только обобщает большой объем предшествующих исследований и публикаций, но и вводит в научный оборот значительный корпус новых документов, позволяющих прояснить важные факты и обстоятельства шагаловской биографии. Таковы, к примеру, сведения о родословии и семье художника, свод документов о его деятельности на посту комиссара по делам искусств в революционном Витебске, дипломатическая переписка по поводу его визита в Москву и Ленинград в 1973 году, и в особой мере его обширная переписка с русскоязычными корреспондентами.


Дуэли Лермонтова. Дуэльный кодекс де Шатовильяра

Настоящие материалы подготовлены в связи с 200-летней годовщиной рождения великого русского поэта М. Ю. Лермонтова, которая празднуется в 2014 году. Условно книгу можно разделить на две части: первая часть содержит описание дуэлей Лермонтова, а вторая – краткие пояснения к впервые издаваемому на русском языке Дуэльному кодексу де Шатовильяра.


Скворцов-Степанов

Книга рассказывает о жизненном пути И. И. Скворцова-Степанова — одного из видных деятелей партии, друга и соратника В. И. Ленина, члена ЦК партии, ответственного редактора газеты «Известия». И. И. Скворцов-Степанов был блестящим публицистом и видным ученым-марксистом, автором известных исторических, экономических и философских исследований, переводчиком многих произведений К. Маркса и Ф. Энгельса на русский язык (в том числе «Капитала»).


Страсть к успеху. Японское чудо

Один из самых преуспевающих предпринимателей Японии — Казуо Инамори делится в книге своими философскими воззрениями, следуя которым он живет и работает уже более трех десятилетий. Эта замечательная книга вселяет веру в бесконечные возможности человека. Она наполнена мудростью, помогающей преодолевать невзгоды и превращать мечты в реальность. Книга рассчитана на широкий круг читателей.


Ротшильды. История семьи

Имя банкирского дома Ротшильдов сегодня известно каждому. О Ротшильдах слагались легенды и ходили самые невероятные слухи, их изображали на карикатурах в виде пауков, опутавших земной шар. Люди, объединенные этой фамилией, до сих пор олицетворяют жизненный успех. В чем же секрет этого успеха? О становлении банкирского дома Ротшильдов и их продвижении к власти и могуществу рассказывает израильский историк, журналист Атекс Фрид, автор многочисленных научно-популярных статей.