Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр. - [10]
Открытка 1916 года, на которой изображена улица на территории Эрлангенского университета.
Если речь идет об относительно небольших расстояниях, евклидова и неевклидова геометрии практически эквивалентны. Однако если рассматривать расстояния в астрономии или в некоторых системах современной физики (теории относительности или теории распространения волн), неевклидовы геометрии оказываются более точным инструментом.
В свете этого ученые заключили, что гиперболическая геометрия — один из видов неевклидовой — не менее обоснована, чем евклидова; другими словами, если в гиперболической геометрии и есть противоречия, то они есть и в геометрии Евклида. Последующее развитие теоретической физики показало, что евклидова геометрия необязательно наиболее соответствует «реальности».
Появление неевклидовых систем стало важным этапом не только в развитии самой геометрии. Речь шла о том, чтобы зайти за священную ограду непреложных истин, содержащихся в аксиомах, и сделать предметом изучения само внутреннее обоснование этих аксиом. Геометрия стала детонатором глубокого кризиса, который в итоге поразил один из столпов всей математической науки — теорию множеств.
Теория множеств имеет большое значение для математики: являясь, в сущности, очень простой, она позволяет дать определения таким понятиям, как упорядоченная пара, соотношение, функция, разбиение множества, порядок, натуральные числа, рациональные, вещественные, комплексные числа, структура группы, кольцо, тело, векторное пространство и так далее,— список можно продолжать очень долго. Само же понятие множества — одно из основных в математике. Сложно найти хотя бы одну ее область, которая не была бы основана на нем, явно или не очень явно. Можно даже утверждать, что все математическое здание стоит на краеугольном камне теории множеств, которой пользуются математики, логики и, в меньшей степени, те, кто имеет дело с программированием.
Первая сложность в этой теории — само определение множества, но если ее преодолеть, все остальное работает прекрасно. Сформулировать же это определение, не используя само слово «множество» или его синонимы (совокупность, общность, последовательность и другие), очень трудно. Одна из лучших формулировок, в которой нет никаких синонимов (по крайней мере на первый взгляд), была предложена британским ученым Бертраном Расселом (1872-1970):
«Множество суть одновременное рассмотрение различных элементов».
Это очень интересное определение, так как в нем множество представляется как направление мысли, и это означает, что речь идет действительно о базовом понятии. Представим, что мы пришли на прием, где никого не знаем, и начинаем скучать. Чтобы убить время, мы посмотрим на обувь, которую носят гости, и попробуем ее классифицировать по очень простому принципу «нравится — не нравится». Тем самым мы установим некое соотношение в точно определенном множестве: вся обувь на приеме. Перемена направления мысли состоит именно в том, чтобы рассмотреть одновременно ряд объектов, ограничить наше внимание только ими, сконцентрироваться только на них. Именно так мы и получили «множество обуви».
Существует два особых и теоретически неизбежных множества — пустое и универсальное. Пустое множество обозначается знаком 0 и определяется как множество, не имеющее ни одного элемента. С философской точки зрения это очень противоречивое понятие, и в свое время у него было много противников. Ведь раз множество не содержит ни одного элемента, значит оно состоит из ничего, а поскольку «ничто» не существует, то не существует и пустого множества. Универсальное множество, напротив, имеет слишком много элементов, то есть оно просто-напросто слишком большое. В большинстве научных работ его обозначают буквой U. Определение универсального множества не такое четкое, как пустого. Считается, что оно включает в себя все множества, которые мы только можем рассмотреть. Поскольку в пустом множестве ничего нет, в U возникает соблазн включить все. Это означало бы, что U — множество всех возможных множеств, что не совсем правильно — не с метафизической точки зрения, на которую математики не обратили бы внимания, а с точки зрения внутренней логики самого понятия множества. Поэтому для универсального множества ставят условные ограничения. В приведенном выше примере, когда скучающий гость рассматривает обувь всех приглашенных на прием, мы можем считать универсальным множеством U «всю обувь, которая есть на приеме». Но для нас также удобно расширить это множество до всей обуви, произведенной в стране, если, например, мы рассматриваем определенные марки. Или мы легко могли бы принять за универсальное множество «всю обувь мира». Главное — множество должно быть достаточно большим, чтобы нам было удобно оперировать членами внутри него. Разумеется, если мы будем следовать такому алгоритму, то в наших универсальных множествах в итоге всегда будет бесконечное количество элементов. Неудивительно, что история теории множеств тесно связана с понятием бесконечности, в частности с понятием актуальной бесконечности и необходимостью создавать математические объекты с бесконечным количеством элементов.
