Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр. - [9]

Шрифт
Интервал


АКСИОМАТИКА

Такие элементарные понятия, как точка, прямая, плоскость, и их взаимоотношения, от простых до сложных, были систематизированы и упорядочены в период с 330 по 275 год до н.э. в одной из самых известных книг во всей истории человечества. Мы говорим о «Началах» Евклида. Этот труд состоит из 13 книг, в которых содержатся все знания по геометрии того времени. Евклид построил свою геометрию на трех ключевых понятиях: аксиомах, теоремах и постулатах. Теоремы относятся к неочевидным предложениям, которые можно доказать на основе аксиом и постулатов посредством логических рассуждений. Всего Евклид ввел 23 аксиомы (или определения) и 5 постулатов. Различие между аксиомой и постулатом очень важно для понимания сущности геометрии, описанной в «Началах». Аксиома не нуждается в доказательстве, так как это ясное и очевидное утверждение. Например, первая аксиома Евклида гласит: «Точка есть то, что не имеет частей». Постулат же — предложение, которое, не будучи таким очевидным, как аксиома, считается истинным без доказательства.

Таким образом, математическое здание строится шаг за шагом на основе системы аксиом и логических правил, которые позволяют создавать теоремы. До появления неевклидовых геометрий этот фундамент казался достаточно прочным и вызывал полное доверие.


ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ

В пятом постулате «Начал» Евклида — не таком ясном, как остальные четыре, — утверждается:

«Если через две прямые проходит прямая, образующая с одной стороны внутренние углы, чья сумма меньше суммы двух прямых углов, то если продолжить эти прямые бесконечно, они встретятся с той стороны, с которой сумма двух углов меньше двух прямых углов».

Возьмем прямую R>3, проходящую через прямые R>1 и R>2 (см. рисунок).

Внутренние меньшие углы, о которых идет речь в постулате, обозначены буквами а и b. Согласно пятому постулату, если мы продолжим прямые R>1 и R>2, то они пересекутся в правой части рисунка. Недостаток в этом постулате простоты и очевидности, присущей первым четырем, всегда привлекал внимание геометров. Сам Евклид старался избегать этого постулата и впервые применил его только в доказательстве номер 29 книги I. Из-за этой попытки построить всю свою геометрию без пятого постулата Евклида даже называли первым неевклидовым геометром. Так или иначе, пятый постулат с самого начала вызывал вопросы. Справедлив ли он? И если да, действительно ли это независимый постулат? Или это теорема, которую можно доказать на основе четырех предыдущих постулатов?


Но среди постулатов Евклида было слабое звено — пятый постулат. Он стал одним из самых обсуждаемых в истории математики, предметом споров, длившихся более 2000 лет, и той трещиной, которая разрушила все здание.


НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Неевклидова геометрия — это любая геометрическая система, отрицающая истинность пятого постулата. Если вспомнить, что евклидова геометрия на протяжении 2000 лет считалась единственно возможным геометрическим подходом к изучению окружающего нас мира, то становится понятно: для ее отрицания требовалась определенная интеллектуальная дерзость. Создание таких альтернативных геометрий, казалось, могло быть только математической игрой, забавой. И действительно, сначала дело обстояло именно так, но со временем эти геометрии стали мощным инструментом не только в математике (в таких областях, как динамические системы, автоморфная функция, теория чисел), они оказались необходимой системой измерений во многих областях современной физики.


ЭРЛАНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА

В рамках евклидовой геометрии мы оперируем элементами, которые непосредственно принадлежат этому виду геометрии, — точками, прямыми, плоскостями, углами и так далее, а также преобразованиями, которые можно применить к этим элементам. Мы можем переносить их из одного места в другое, вращать их, удлинять, укорачивать или придавать им определенную симметрию. Некоторые преобразования обратимы, то есть если в ходе преобразования из точки А мы переходим в точку В, то существует и другое преобразование, которое приводит нас из точки В в точку А. Также, применяя два преобразования подряд, мы можем получить еще одно преобразование. Если имеется совокупность преобразований, отвечающих этому критерию (и еще нескольким, но в данном случае это не важно), то она называется группой преобразований. Некоторые объекты, с которыми мы имеем дело в геометрии, могут быть в большей или меньшей степени подвергнуты таким преобразованиям.


Пример

Предположим, что мы должны перенести окружность. Ее центром является определенная фиксированная точка, но при переносе она меняется. Если же мы оставим центр на месте и уменьшим длину окружности, изменится ее радиус. Но при всех этих преобразованиях одно свойство остается неизменным — соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Феликс Клейн заметил, что изучение таких инвариантных свойств было определяющей характеристикой конкретного типа геометрии, в рамках которой можно сравнивать фигуры с одинаковыми свойствами. Тогда он предложил более общее и более абстрактное определение геометрии: она определялась парой (X; G), гдеХ — множество объектов, a G — множество преобразований, применяемых к ним. Все известные геометрии — евклидова, проективная, гиперболическая и так далее — попадали под эту классификацию. Она также открывала путь новым геометрическим системам, поскольку множество объектов X могло состоять из абсолютно любых типов элементов. Клейн изложил свои идеи в докладе «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», представленном в 1872 году на математической кафедре Эрлангенского университета. Позднее доклад стал известен в математических кругах как Эрлангенская программа Феликса Клейна.


Рекомендуем почитать
Русская книга о Марке Шагале. Том 2

Это издание подводит итог многолетних разысканий о Марке Шагале с целью собрать весь известный материал (печатный, архивный, иллюстративный), относящийся к российским годам жизни художника и его связям с Россией. Книга не только обобщает большой объем предшествующих исследований и публикаций, но и вводит в научный оборот значительный корпус новых документов, позволяющих прояснить важные факты и обстоятельства шагаловской биографии. Таковы, к примеру, сведения о родословии и семье художника, свод документов о его деятельности на посту комиссара по делам искусств в революционном Витебске, дипломатическая переписка по поводу его визита в Москву и Ленинград в 1973 году, и в особой мере его обширная переписка с русскоязычными корреспондентами.


Дуэли Лермонтова. Дуэльный кодекс де Шатовильяра

Настоящие материалы подготовлены в связи с 200-летней годовщиной рождения великого русского поэта М. Ю. Лермонтова, которая празднуется в 2014 году. Условно книгу можно разделить на две части: первая часть содержит описание дуэлей Лермонтова, а вторая – краткие пояснения к впервые издаваемому на русском языке Дуэльному кодексу де Шатовильяра.


Скворцов-Степанов

Книга рассказывает о жизненном пути И. И. Скворцова-Степанова — одного из видных деятелей партии, друга и соратника В. И. Ленина, члена ЦК партии, ответственного редактора газеты «Известия». И. И. Скворцов-Степанов был блестящим публицистом и видным ученым-марксистом, автором известных исторических, экономических и философских исследований, переводчиком многих произведений К. Маркса и Ф. Энгельса на русский язык (в том числе «Капитала»).


Страсть к успеху. Японское чудо

Один из самых преуспевающих предпринимателей Японии — Казуо Инамори делится в книге своими философскими воззрениями, следуя которым он живет и работает уже более трех десятилетий. Эта замечательная книга вселяет веру в бесконечные возможности человека. Она наполнена мудростью, помогающей преодолевать невзгоды и превращать мечты в реальность. Книга рассчитана на широкий круг читателей.


Джоан Роулинг. Неофициальная биография создательницы вселенной «Гарри Поттера»

Биография Джоан Роулинг, написанная итальянской исследовательницей ее жизни и творчества Мариной Ленти. Роулинг никогда не соглашалась на выпуск официальной биографии, поэтому и на родине писательницы их опубликовано немного. Вся информация почерпнута автором из заявлений, которые делала в средствах массовой информации в течение последних двадцати трех лет сама Роулинг либо те, кто с ней связан, а также из новостных публикаций про писательницу с тех пор, как она стала мировой знаменитостью. В книге есть одна выразительная особенность.


Ротшильды. История семьи

Имя банкирского дома Ротшильдов сегодня известно каждому. О Ротшильдах слагались легенды и ходили самые невероятные слухи, их изображали на карикатурах в виде пауков, опутавших земной шар. Люди, объединенные этой фамилией, до сих пор олицетворяют жизненный успех. В чем же секрет этого успеха? О становлении банкирского дома Ротшильдов и их продвижении к власти и могуществу рассказывает израильский историк, журналист Атекс Фрид, автор многочисленных научно-популярных статей.