Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс - [14]

55. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину. (3)

56. а) По какой формуле вычисляется площадь параллелограмма? (1)

б) Выведите эту формулу. (1)

57. а) По какой формуле вычисляется площадь треугольника? (через основание и высоту). (1)

б) Выведите эту формулу. (1)

в) Выведите формулу Герона. (1)

58. а) По какой формуле вычисляется площадь трапеции? (1)

б) Выведите эту формулу. (1)

59. Выведите формулы:

где a, b, c – длины сторон треугольника;

S – его площадь;

R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей. (1)

60. Пусть F1 и F2 – две подобные фигуры с коэффициентом подобия k. Как относятся площади этих фигур? Ответ: обоснуйте. (1)

61. а) По какой формуле вычисляется площадь круга? (1)

б) Выведите эту формулу. (3)

62. Выведите формулу площади кругового сектора. (2)

63. Выведите формулу площади кругового сегмента. (2)

64. а) Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (2)

б) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. (2)

в) Докажите, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. (2)

г) Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. (1)

65. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. (1)

66. а) Сформулируйте теорему Чевы. (3)

б) Докажите эту теорему. (3)

в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)

67. а) Сформулируйте теорему Мене лая. (3)

б) Докажите эту теорему. (3)

в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)

68. а) Докажите, что если стороны одного угла параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо составляют 180°. (2)

б) Докажите, что если стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы равны или составляют 180°. (2)

69. Докажите, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. (1)

70. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. (1)

71. Выведите формулу длины медианы треугольника (через его стороны). (2)

72. Выведите формулу длины биссектрисы треугольника (через его стороны). (2)

73. а) Сформулируйте критерий описанного четырёхугольника. (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (2)

74. а) Сформулируйте критерий вписанного четырёхугольника. (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (2)

3.3. Задачи теоретического характера для самостоятельного решения и разбора на факультативных занятиях

1. Докажите, что

(рис. 113). (1)

Рис. 113.

2. Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. (1)

3. Докажите, что сумма внешних А углов выпуклого n-угольника равна 360°. (1)

4. Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну. (1)

5. Около какого параллелограмма можно описать окружность? Ответ: поясните. (1)

6. Во всякий ли параллелограмм можно вписать окружность? Ответ: обоснуйте. (1)

7. Около какой трапеции можно описать окружность? Почему? (1)

8. АВ = а, ВС = b. Найдите длину BD (рис. 114). (1)

Рис. 114.

9. АС = a, AD = b. Найдите длину АВ (рис. 115). (1)

Рис. 115.

10. В каком отношении точка X делит отрезок АВ, если известно, что длина всего отрезка АВ так относится к длине большей части АХ, как большая часть к меньшей части ХВ («золотое сечение») (рис. 116)? (1)

Рис. 116.

11. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объясните ответ. (1)

12. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ. (1)

13. Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ. (1)

14. Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему? (1)

15. Найдите угол между биссектрисами смежных углов. (1)

16. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. (1)

17. Докажите, что у равнобедренного треугольника:1) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны; 2) медианы, проведённые из тех же вершин, тоже равны. (1)

18. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу. (1)

19. Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведённые к основанию, лежат на одной прямой. (1)

20. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них. (1)

21. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. (1)

22. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD параллельны. (1)

23. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. (1)

24. В треугольнике ABC медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника. (1)

25. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок её, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. (1)