Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс - [15]

26. Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат. (1)

27. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон. (1)

28. Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. (1)

29. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. (1)

30. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны. (1)

31. Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. (1)

32. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС. (1)

33. Могут ли пересекаться окружности с радиусами R1 и R2 и расстоянием между центрами d, если R1 + R2 < d? (1)

34. Найдите радиус r окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, и радиус R окружности, описанной около него. (1)

35. Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых |х| = 3. (1)

36. Составьте уравнение окружности с центром в точке (1; 2), касающейся оси х. (1)

37. Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника. (1)

38. Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника? (1)

39. Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали. (1)

40. Даны точки A(0; 1), В(1; 0), С(1; 2), D(2; 1). Докажите равенство векторов АВ и CD.(1)

41. Дан параллелограмм ABCD, AC = a, DB = b. Выразите векторы АВ, СВ, CD и АD через а и b (рис. 117).(1)

Рис. 117.

42. Докажите, что для любого вектора

43. Докажите, что дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны. (2)

44. Докажите правильность соотношения

(рис. 118). (2)

Рис. 118.

45. Докажите правильность соотношения

(рис. 119). (2)

Рис. 119.

46. АВ – касательная. Докажите, что х = ?/2 (рис. 120). (2)

Рис. 120.

47. Докажите, что если два треугольника подобны с коэффициентом подобия k, то с тем же коэффициентом подобия подобны соответствующие линейные элементы этих треугольников (высоты, медианы, радиусы описанной и вписанной окружностей, периметры и т. д.). (2)

48. Докажите, что если для четырёх точек плоскости А, В, М и К выполняется одно из следующих условий: а) точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом ?АМВ = ?АКБ; б) точки М и К расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом ?АМВ + ?АКБ = 180°, то точки А, В, М и К лежат на одной окружности. (2)

49. Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника обладает свойством, аналогичному биссектрисе внутреннего угла, а именно:

(рис. 121). (2)

Рис. 121.

50. ABC – произвольный треугольник. СР и AQ – высоты. Докажите, что треугольник ABC и треугольник PBQ подобны. Чему равен коэффициент подобия (рис. 122)? (2)

Рис. 122.

51. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника. (2)

52. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана. (2)

53. Разделите отрезок АВ с помощью циркуля и линейки на n равных частей. (2)

54. На стороне АВ треугольника ABC взята точка X Докажите, что отрезок СХ меньше, по крайней мере, одной из сторон АС или ВС. (2)

55. Какая геометрическая фигура задана уравнением

56. Докажите, что при движении параллелограмм переходит в параллелограмм. (2)

57. Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии. (2)

58. Докажите, что отрезки, соединяющие противоположные вершины описанного шестиугольника, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона). (3)

59. Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых к прямым, содержащим стороны треугольника, из произвольной точки описанной около него окружности, лежат на одной прямой (теорема Симпсона). (3)

60. Докажите, что если противоположные стороны вписанного шестиугольника не параллельны, то точки пересечения продолжений этих сторон лежат на одной прямой (теорема Паскаля). (3)

61. Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой (рис. 123). (3)

Рис. 123.

62. Пусть точка А расположена внутри круга радиуса R на расстоянии а от его центра. BB1 – произвольная хорда, проходящая через А. Тогда произведение ВА ? АВ1 постоянно и ВА ? АВ1 = R2– а2. Докажите, что если точка А лежит вне круга, то ВА ? АВ1 = а2 – R2. (3)

63. Докажите, что центр описанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот лежат на одной прямой (теорема Эйлера). (3)

64. Докажите, что в остроугольном треугольнике точка пересечения высот является центром окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются основания высот данного треугольника. (3)

65. Докажите, что для треугольника:

66. Даны две точки А и В. Докажите, что геометрическим местом точек М таких, что AM: ВМ = k (к ? 1), является окружность с центром на прямой АВ (окружность Anолонния). (3)

67. Найдите углы четырёхугольника ABCD (рис. 124). (3)

Рис. 124.

68. В треугольнике ABC отрезок А1B1, соединяющий основания высот АА1 и ВВ1, виден из середины стороны АВ под углом ?. Найдите величину угла С этого треугольника. (3)