Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр - [17]

Шрифт
Интервал

Игра 12: круги и квадраты

Нарисуем несколько кругов и квадратов, расположив их в ряд. Каждый игрок может убирать две одинаковые фигуры (два круга или два квадрата) и заменять их одним кругом, либо же забирать две разные фигуры и заменять их одним квадратом. Количество фигур будет постоянно уменьшаться, и в конце игры останется только одна. Если останется квадрат, выигрывает первый игрок, если останется круг — второй игрок. Существует ли стратегия, которая позволяет всегда выигрывать? Что произойдет, если изменить начальное число кругов и квадратов? Является ли эта игра стратегической? Рассмотрим начальную позицию, изображенную на рисунке ниже.

Сыграв несколько партий для такой расстановки, мы увидим, что второй игрок, кажется, всегда выигрывает (последней фигурой всегда будет круг). Если изменить число кругов, то кажется, что результат останется прежним. Если изменить число квадратов, то исход игры изменится.


ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ИНТЕРЕСНЫХ ИГР

Замкнуть треугольник. Это стратегическая игра для двух игроков. На листе бумаги нужно нарисовать окружность и обозначить на ней шесть произвольных точек. На каждом ходу игрок соединяет две точки отрезком. Один из игроков использует черный карандаш, второй игрок — красный карандаш. Каждый игрок может соединять любые две точки, кроме уже соединенных. Тот, кто нарисует треугольник со сторонами одного цвета, выигрывает.

Какой из игроков имеет преимущество? Как нужно играть, чтобы всегда выигрывать? Что изменится, если изменить начальное число точек? Можно играть по обратным правилам: тот, кто нарисует треугольник одного цвета, проигрывает. Что произойдет в этом случае?

Плитка шоколада (1). Плитка шоколада состоит из 28 окошек, расположенных в 4 ряда по 7 квадратиков. Первый игрок делит плитку на две части, не ломая ни одно из окошек. Второй игрок берет одну из полученных частей (другая откладывается в сторону) и снова делит ее. На каждом ходу игрок берет одну из двух только что полученных частей и делит ее на две части вдоль линий, разделяющих окошки. Тот, кто не сможет разделить плитку подобным образом, проигрывает.

Как нужно играть, чтобы выигрывать? Что изменится, если плитка будет состоять из 27 окошек, расположенных в 3 ряда по 9?

Плитка шоколада (2). На этот раз плитка состоит из 50 квадратных окошек, расположенных в 5 рядах по 10. Каждый игрок делит плитку (или ее часть) вдоль вертикальной или горизонтальной линии, не ломая ни одно из окошек. На этот раз ни одна из частей не откладывается в сторону, все они продолжают участвовать в игре. Первый игрок, который своим ходом получит одно отдельное окошко, проигрывает.

Как нужно играть, чтобы выигрывать? Что произойдет, если победителем будет объявляться тот, кто первым получит одно отдельное окошко?


Чтобы понять, что на самом деле это не игра и что победитель всегда определяется начальным положением фигур и самими правилами, нужно проанализировать, как меняется число квадратов по ходу партии. После каждого хода число квадратов может либо остаться неизменным (если два круга заменяются одним кругом, или если квадрат и круг заменяются квадратом), либо уменьшиться на два (если два квадрата заменяются одним кругом). Это означает, что если начальное число квадратов четное, то оно останется четным в течение всей партии. Следовательно, квадрат не может остаться последней фигурой, так как единица — нечетное число.

В этой главе мы говорили о стратегических играх, а именно о тех, которые можно полностью проанализировать. Мы увидели, как математика помогает найти выигрышную стратегию для одного из игроков, если такая стратегия существует. Такие эвристические методы, как изучение частных случаев; предположение, что игра завершена, и рассуждение в обратном направлении; использование симметрии, применяются при решении математических задач и полезны при анализе игр подобного типа. Как только для игры найдена выигрышная стратегия, это уже не игра, а решенная математическая задача.

В общих чертах проанализированные игры принадлежат к играм типа Ним, где важно количество фишек, и к играм типа Нимбус, где, помимо количества, также важно расположение фишек, поэтому выигрышные стратегии для игр типа Ним здесь неприменимы. В целом стратегии для игр типа Нимбус определять сложнее.

Глава 3. Игры и азарт

Где заканчивается игра и начинается серьезная математика? <...> Для многих математика смертельно скучна и не имеет ничего общего с играми. Напротив, для большинства математиков это всегда игра, а также многое, многое другое.

Мигель де Гусман

В этой главе речь пойдет о взаимосвязи игр и вероятностей. Она стала очевидной сразу же, как только люди поняли возможность моделирования хаотических, случайных процессов. До этого в математике всегда говорилось о чем-то определенном, правильном, в чем можно быть уверенным. Можно сказать, что, когда были определены способы вычисления вероятностей, в математике началась новая эпоха. Этот раздел математики приобретал все большую важность по мере того, как становились известными все новые и новые области его применения. С приходом XX века предметами изучения и математического моделирования стали не только случайные процессы, но и хаос или нерегулярность фракталов.


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.


Золотое сечение. Математический язык красоты

Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.


Том 20. Творчество  в  математике. По каким правилам ведутся игры разума

В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.


Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.


Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.