Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр - [18]
Шевалье, который не хотел проигрывать. Азартные игры и появление вероятностей
В реальном мире сложные теории, касающиеся вероятностей, применяются в самых разных областях, так как в нашей жизни неопределенность встречается очень часто. Однако теория вероятностей берет свое начало именно в азартных играх. Можно утверждать, что теория случайных событий, основанная на понятии вероятности, начала формироваться во Франции в середине XVII века, в частности в 1654 году, в переписке Блеза Паскаля и Пьера Ферма, которые обсуждали вопросы, поставленные шевалье де Мере. Этот дворянин, знаток азартных игр, попросил Паскаля объяснить результаты некоторых азартных игр с игральными костями.
Антуан Гомбо, известный как шевалье де Мере (род. в Пуату, 1607—1685), посвятил большую часть жизни азартным играм и их анализу. Его интуитивные догадки много раз оказывались верными. По-видимому, он заработал приличную сумму различными азартными играми, где вероятность выигрыша и проигрыша одинакова. Например, такой считалась игра, где нужно было выбросить минимум одну шестерку броском четырех игральных костей. Однако Мере знал, что в этой игре один из игроков имеет преимущество. Он предложил новую игру, в которой требовалось минимум один раз выбросить две шестерки за 24 броска двух костей. Де Мере полагал, что преимущество одного из игроков здесь будет таким же, что и в исходной игре. Некоторое время спустя он убедился, что в действительности все происходит с точностью до наоборот. Поэтому примерно в 1654 году он обратился к Паскалю, чтобы тот нашел ошибку в его рассуждениях и объяснил, почему в новой игре у него не было преимущества.
Иллюстрация из «Книги игр» Альфонсо X Мудрого, на которой изображена игра в кости.
Несмотря на смерть в раннем возрасте, этот французский ученый, математик и философ внес большой вклад в различные сферы науки и человеческой мысли. Он был вундеркиндом и уже в И лет участвовал в научных встречах, которые организовывал Марен Мерсенн. В 1640 году Паскаль публикует работу «Опыт о конических сечениях», в 1649 году подтверждает результаты работ Торричелли об атмосферном давлении. В 1642 году он сконструировал счетную машину, чтобы помочь отцу, сборщику налогов в Нормандии. Эта машина, получившая название паскалина, — одна из первых рабочих счетных машин. Некоторые экземпляры сохранились до наших дней и демонстрируются в музеях науки и техники. Счетная машина, предназначенная для расчетов в торговле, заинтересовала многих — от королевы Швеции Кристины до философа Готфрида Вильгельма Лейбница, который усовершенствовал машину Паскаля.
С вопросов шевалье де Мере об азартных играх началась переписка Паскаля и Пьера Ферма, в которой впервые формулируется теория вычисления вероятностей (Паскаль называл ее геометрией случайности). В пяти письмах, датированных 1654 годом, анализируются азартные игры, изучением которых до этого уже занимался Джероламо Кардано.
В еще одной работе в этой области, «Трактате об арифметическом треугольнике» (1654), Паскаль проанализировал и доказал свойства арифметического треугольника, известного под названием треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля несколько лет спустя использовал Ньютон для определения биномиальных коэффициентов. В 1655 году Паскаль завершает занятия математикой и наукой вообще и удаляется в монастырь, посвятив остаток жизни философии и религии.
Это один из величайших математиков всех времен, несмотря на то что он не был профессиональным математиком и при жизни ему не удалось опубликовать свои труды, которые стали известны лишь благодаря переписке с великими учеными того времени: Декартом, Мерсенном и Паскалем.
Ферма изучал юриспруденцию и большую часть жизни провел в Тулузе, где приобрел известность как королевский советник парламента (т.е. член высшего суда) этого города. Это позволило ему в свободное время отдаваться подлинному увлечению — математике. Область математики, которая интересовала его сильнее всего и в которую он внес наибольший вклад, — теория чисел. Одна из его теорем (для любого натурального числа n>2 уравнение x>n + y>n = z>n не имеет натуральных решений) была доказана лишь в конце XX века. Он также внес заметный вклад в геометрию и определение экстремумов функций для решения задач оптимизации еще до того, как было создано дифференциальное исчисление. В его переписке 1654 года с Блезом Паскалем впервые предприняты попытки определить понятие вероятности.
Укрощение случайности. Математическое изучение вероятностей
Чтобы познакомиться с понятием вероятности и его основными свойствами, попробуем решить две задачи, предложенные шевалье де Мере. Точная формулировка первой задачи такова: какова вероятность выбросить 6 очков минимум один раз, бросив игральные кости четыре раза? Для решения этой задачи используется собственное свойство вероятности. Оно гласит: вероятность того, что произойдет некоторое событие либо обратное ему, равна 1. Поэтому сначала мы вычислим вероятность того, что ни в одном из бросков игральных костей не выпадет 6. Очевидно, что при броске одного кубика
