Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр - [19]
(5/6) • (5/6) • (5/6) • (5/6) = (5/6)>4 = 625/1296 = 0,482 < 1/2.
Отсюда следует, что вероятность выпадения минимум одной шестерки равна
1 — (625/1296) = 671/1296 = 0,518 > 1/2.
Следовательно, выгоднее ставить на то, что после четырех бросков шестерка выпадет хотя бы один раз, как и предполагал шевалье де Мере.
Аналогичным способом можно решить и вторую задачу: какова вероятность выпадения двух шестерок при броске пары кубиков 24 раза? Сперва мы снова рассчитаем вероятность того, что после 24 бросков две шестерки не выпадут ни разу. При броске двух игральных костей p(не две 6) = 35/36. Следовательно, для 24 бросков получим:
p(не две 6) = (35/36)>24 = 0,5086.
Следовательно, вероятность выпадения двух шестерок минимум один раз равна
1 - 0,5086 = 0,4914 < 1/2.
Чтобы решить эти две задачи, которые можно считать первыми задачами теории вероятностей за всю историю, мы использовали несколько базовых определений и свойств теории вероятностей.
Ахиллес и Аякс играют в кости. Одна из самых известных афинских чернофигурных амфор (VI век до н.э.) — еще одно доказательство древности этой азартной игры.
Лаплас — один из величайших математиков XVIII века. Он изучал богословие и математику, был профессором Военной академии в Париже и читал лекции в Нормальной школе. Лаплас был членом Французской академии наук и Лондонского королевского общества. Во время Великой французской революции принял руководящее участие в работах комиссии по введению метрической системы. По указу Наполеона он был назначен членом сената и канцлером, а в 1805 году был награжден орденом Почетного легиона. После реставрации Бурбонов Лаплас поддерживал Людовика XVIII, который в 1817 году присвоил ему титул маркиза.
Его основной труд по физике и математике и, возможно, наиболее значительный вклад в науку вообще — книга «Небесная механика» в пяти томах, опубликованных с 1799 по 1825 год. В этом труде Лаплас дополнил более ранние работы Ньютона, Галлея и Эйлера о гравитации и устойчивости Солнечной системы, то есть о неизменности средних расстояний планет от Солнца.
С 1780 года он занимался теорией вероятностей и в 1812 году опубликовал свою главную работу по этой теме — «Аналитическую теорию вероятностей», которая считается первой книгой по теории вероятностей. Успех этого труда побудил его в 1814 году написать «Опыт философии теории вероятностей» — популярное изложение «Аналитической теории вероятностей». В этой книге содержится полная и непротиворечивая аргументация в пользу детерминизма Вселенной. Лаплас писал: «В основе теории вероятностей — только здравый смысл, сведенный до исчисления. Нет никакой другой науки, которая точнее бы отражала наши размышления и результаты которой были бы более полезны».
Далее мы изложим эти свойства и покажем их на примере игры в кости. Многие из этих свойств зародились в уже упоминавшейся переписке Паскаля и Ферма, а затем были сформулированы Лапласом в его трудах по теории вероятностей.
Рассмотрим одну из первых задач в теории вероятностей. Роман и Павел играют в азартную игру, выигрывает тот, кто первым наберет 10 очков. В каждом раунде оба имеют равные шансы на победу. Победитель раунда получает 1 очко. После 17-й партии Павел выигрывает со счетом 9:8, после чего игру решено прекратить. Так как никому не удалось набрать 10 очков, игроки решают разделить сделанные ставки. Как справедливо разделить деньги между игроками? «Правильное» решение задачи может зависеть от многих факторов, в том числе не относящихся к математике, поэтому может существовать несколько «допустимых» решений. Однако если мы проанализируем вероятность выигрыша обоих игроков, то сможем справедливо разделить ставки.
До окончания игры нужно сыграть еще максимум две партии. Существует четыре возможных (и равновероятных) результата этих двух партий: (П, П), (П, Р), (Р, П), (Р, Р), где П означает победу Павла, Р — победу Романа. В трех возможных исходах победа останется за Павлом, которому до победы остается всего одно очко, и лишь единственный (последний) исход принесет победу Роману. Поэтому ставки нужно поделить в соотношении 3:1, то есть отдать 3/4 денег Павлу и 1/4 — Роману.
Еще одна задача, о которой идет речь в переписке Паскаля и Ферма, касается азартной игры: нужно решить, как разделить ставки между игроками, если игра прерывается в определенный момент. Эту задачу пытался решить еще Кардано. В его решении разделение ставок зависело от того, сколько очков у каждого игрока, а не от вероятности выигрыша в случае продолжения игры до конца.
Вопросы вычисления. Важен ли порядок?
Вспомним, что вероятность события рассчитывается по следующему правилу: p(события) = число благоприятных исходов/общее число исходов, то есть нужно определить число наблюдений, при которых наступает нужное событие, и разделить его на общее число наблюдений. Иногда подсчитать это отношение очень просто. Например, какова вероятность, что при броске кубика выпадет четное число очков? Из шести возможных исходов лишь три благоприятных (когда выпадает 2, 4 или 6). Следовательно,
