Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр - [21]
Номера лотерейных билетов и другие ошибочные предположения о случайности
Представим себе такой диалог:
— Здравствуйте, можно лотерейный билет?
— Возьмите, номер 00010.
— Нет, дайте другой, этот номер очень маленький и никогда не выпадает.
— Если хотите, я дам вам второй, 00001, два по цене одного.
— Нет, они все равно почти никогда не выпадают.
— Хорошо, держите 74283.
— Другое дело, этот подойдет. Спасибо.
Все мы имеем некоторое представление о том, что такое случайность и каковы ее законы. Многие задачи теории вероятностей в действительности намного сложнее, чем кажется. В теории вероятностей подобное происходит чаще, чем в других разделах математики, поскольку при математическом моделировании случайных событий нужно учитывать все возможные ситуации. Диалог в начале этого раздела, пусть несколько неправдоподобный, показывает, насколько простейшие правила теории вероятностей далеки от реальности, в частности, когда речь идет об азартных играх. С одной стороны, страсть множества людей к азартным играм и ставкам показывает, сколь мало обычный человек знает о расчете вероятностей. Несмотря на все заверения о ничтожной вероятности выигрыша, многие продолжают играть, надеясь, что в этот раз им повезет, даже если они играют каждую неделю уже много лет и никогда ничего не выигрывали. С другой стороны, рассуждая о шансах попасть в аварию, отправляясь на выходных за город на машине, все надеются, что авария их минует.
Капризы вероятностей
Далее мы расскажем о некоторых любопытных примерах, связанных с вероятностью выигрыша в игре или со справедливой жеребьевкой. Не раз и не два результат будет противоречить тому, что нам будет подсказывать интуиция. Все эти игры и задачи показывают, что, как правило, мы не слишком хорошо знакомы со случайными событиями и порой интуиция подсказывает совершенно обратное тому, что происходит на самом деле.
Игра в кегли
Два друга, Иван и Николай, любители игры в петанк, на тренировках играют в такую игру: Иван берет два шара, Николай — один, они ставят кеглю на определенном расстоянии и бросают шары. Если их уровень игры одинаков, какова вероятность того, что ближе всего к кегле подкатится один из шаров, брошенных Иваном?
Кажется, что ответ — 2/3, так как единственный шар, брошенный Николаем, может быть ближе всего к кегле, а также на втором или на третьем месте. В двух последних случаях ближе всего к кегле подкатится один из шаров, брошенных Иваном. Однако можно рассуждать иначе и представить четыре возможных случая:
1. Оба шара, брошенных Иваном, находятся ближе к кегле, чем шар Николая.
2. Оба шара, брошенных Иваном, находятся дальше от кегли, чем шар Николая.
3. Первый шар Ивана окажется ближе, второй — дальше, чем шар Николая.
4. Первый шар Ивана окажется дальше, второй — ближе, чем шар Николая.
В этом случае Николай выигрывает всего один раз из четырех, поэтому вероятность победы Ивана равна 3/4. Какое из двух рассуждений неверно? Почему?
Верным является первое рассуждение. На самом деле, если мы не пометим шары, существует лишь три возможных случая, а если мы нанесем на шары какие-то отметки, число возможных случаев будет равно шести, и в четырех из них ближе всего к кегле окажется один из шаров, брошенных Иваном. Второй способ рассуждения неверен, поскольку мы подсчитываем два раза лишь один случай (шар Николая оказывается в середине), считая шары Ивана помеченными, но в остальных двух случаях мы считаем шары непомеченными и учитываем эти случаи только один раз, а не два.
Обычный кубик
Борис и Роман играют в кости с обычным игральным кубиком, на грани которого нанесены очки от 1 до 6. Первым кубик бросает Борис, затем Роман. Какова вероятность, что результат Бориса будет больше, чем результат Романа?
Очевидно, что вероятность того, что игроки выбросят одинаковое число очков, равна 1/6 (она совпадает с вероятностью того, что результат Романа будет тем же, что и у Бориса). Следовательно, вероятность выбросить разное число очков равна 5/6. Вероятность того, что результат Бориса будет выше, в два раза меньше и равна 5/12.
Какова вероятность выигрыша?
У нас есть три кубика разных цветов: на гранях красного кубика нанесены числа 2, 4, 9 по два раза каждое, на гранях синего кубика — 3, 5 и 7 по два раза каждое, на гранях белого — 1, 6 и 8 также по два раза каждое. В этой игре каждый из двух игроков выбирает один кубик и бросает его. Тот, кто выбрасывает больше очков, выигрывает. Оказывается, если дать сопернику выбрать кубик первому, вы всегда сможете выбрать кубик, с которым ваши шансы на победу будут выше, чем у противника. Как такое возможно? Какой кубик нужно выбрать?
Несмотря на то что сумма цифр на гранях всех кубиков одинакова, синий кубик предпочтительнее красного, белый предпочтительнее синего, а красный предпочтительнее белого. Из девяти бросков в каждой паре кубиков обладатель первого кубика выигрывает в пяти случаях, обладатель второго — в четырех. Иными словами, вероятность выигрыша для одного из кубиков равна 5/9, для другого — 4/9. Эти вероятности легко подсчитать, проанализировав все возможные исходы для каждой пары кубиков. Поэтому если вы выбираете кубик после противника, то при верном выборе можете получить преимущество.
Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.
Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.
Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.
Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.
Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.
В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.
Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.