Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр - [22]

Фреска в Помпее, на которой изображены игроки в кости (I век).

Спорная жеребьевка

Преподаватель решил разыграть подарок среди 30 учеников класса. Один из учеников предложил взять 30 бумажек, пометить одну из них, сложить бумажки пополам, перемешать и раздать ученикам. Преподаватель предложил более простой и быстрый способ: он загадает число от 1 до 30 и запишет его на листе бумаги. Затем каждый из учеников будет называть число, пока кто-нибудь не угадает число, загаданное преподавателем. Один ученик на заднем ряду возразил и сказал, что у него намного меньше шансов выиграть, чем у сидящих на первых рядах. Он сказал, что, скорее всего, он даже не сможет назвать число, так как до него кто-то почти наверняка назовет верный ответ. Прав ли этот ученик, или же, наоборот, преподаватель предложил справедливый способ розыгрыша?

Преподаватель предоставляет всем ученикам равные шансы, каждый имеет вероятность выигрыша в 1/30. Очевидно, что вероятность выигрыша для первого ученика равна 1/30, так как он может выбрать любое из 30 чисел. Вероятность выигрыша второго ученика равна 29/30 * 1/29 = 1/30 — это вероятность того, что первый ученик ошибется (29/30), а второй — нет (1/29). Для третьего ученика эта вероятность равна 29/30 • 28/29 • 1/28 = 1/30 и так далее. С другой стороны, заметим, что вероятность выигрыша для первого ученика однозначно равняется 1/30, и если бы для каждого последующего она уменьшалась, то сумма вероятностей оказалась бы меньше 1. Это абсолютно невозможно, так как 30 учеников назовут все 30 возможных чисел и один из них обязательно угадает.

Не слишком интересное пари

Некий игрок в рулетку всегда ставит на четное или нечетное. Если он угадывает, то выигрывает столько же, сколько поставил; если ошибается, то теряет свою ставку. Он решает каждый раз ставить 1/10 от суммы, которая есть у него на руках. Если он начнет игру со 100 евро, сделает 10 ставок подряд, выиграв 5 раз и проиграв 3 раз, сколько денег у него останется — больше, меньше или столько же, сколько было вначале? Эту задачу можно обобщить для произвольной стартовой суммы, например, m евро и ставки в 1/n от суммы, которая находится на руках у игрока перед очередной ставкой.

Может показаться, что после 5 выигрышей и 5 проигрышей у игрока будет столько же денег, что и вначале. Однако это не так, и в действительности у него останется меньше денег. Выигрыш увеличивает сумму денег на 1/10, что равносильно умножению на 1,1. Проигрыш уменьшает сумму на 1/10, что равносильно умножению на 0,9. Поэтому после 5 выигрышей и 5 проигрышей (независимо от того, в каком порядке они происходили) имеем 100 * 1,1⁵ • 0,9⁵ = 100 • 1,61051 * 0,59049 = 100 • 0,95099 ≈ 95,099 евро. Игрок потеряет около 5 евро. Подобные рассуждения можно обобщить для произвольного случая. Тот факт, что итоговая сумма всегда будет меньше начальной, объясняется тем, что (1 + 1/n)(1 - 1/n) = 1 - 1/n², что всегда меньше 1. При умножении начальной суммы на число, меньшее 1, мы всегда получим меньшее число.

Карикатура XVIII века на игроков в «четное — нечетное». Эта игра — предшественник современной рулетки.

Парадокс дней рождения

Одна из элементарных задач теории вероятностей с очень удивительным результатом формулируется так. Какова вероятность того, что среди 25 человек найдутся двое, у которых день рождения приходится на один и тот же день? Учитывая, что в году 365 дней (не будем учитывать високосные), а в группе всего 25 человек, интуиция подсказывает, что итоговая вероятность будет невелика и в любом случае меньше 1/2. Однако расчеты с применением теории вероятностей показывают, что эта вероятность будет больше 1/2.

Так как в нашей группе может быть двое и более людей, дни рождения которых приходятся на один день, можно вычислить вероятность того, что все члены группы родились в разные дни. Для этого упорядочим членов группы: день рождения первого человека может приходиться на любой из 365 дней, второго — на любой из 364 оставшихся, третьего — на любой из 363 оставшихся и так далее. Следовательно, вероятность того, что все 25 человек родились в разные дни, равна

p(несовпадения дней рождений) = 365/365 • 364/365 • 363/365 • 341/365 = 365! / (340! • 365²⁵) = 0,4313.

Отсюда получим вероятность того, что дни рождения как минимум у двух человек совпадают: 1 - 0,4313 = 0,5687 > 1/2. В действительности эта вероятность будет превышать 1/2 уже для группы из 23 человек.

Случайность не имеет памяти

Обычно интуиция нас подводит при определении независимых событий. Допустим, что мы наблюдаем за игрой в рулетку и выпало 10 четных чисел подряд. Мы решаем поставить на четное или нечетное. Что выбрать? Основы теории вероятностей подсказывают, что это безразлично, так как число, которое выпадет следующим, с одинаковой вероятностью может быть как четным, так и нечетным. Однако подобную ситуацию, про которую говорят, что «шарик не имеет памяти», не всегда так просто определить. Мы покажем это на примере следующих задач.

Бросаем монету

Преподаватель математики предложил студентам бросить монету много раз, например 150, и записать результаты, обозначив орел за 1 и решку за 0. Двое его учеников получили такие результаты: