Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр - [23]
Роман:
01011001100101011011010001110001101101010110010001
01010011100110101100101100101100100101110110011011
01010010110010101100010011010110011101110101100011.
Борис:
10011101111010011100100111001000111011111101010101
11100001010001010010000010001100010100000000011001
00001001111100001101010010010011111101001100011010.
Преподаватель изучил результаты и заметил, что что-то не так. Один из учеников провел эксперимент верно, но другой посчитал, что бросать монету необязательно и достаточно просто записать произвольную последовательность нулей и единиц. Увы, но он недостаточно хорошо изучил теорию вероятностей, и преподаватель быстро определил того, кто сжульничал. Кто из двух учеников не бросал монету?
Равномерное распределение нулей и единиц в результатах Романа заставило преподавателя подозревать, что сжульничал именно он. Так, если сравнить распределение нулей и единиц в результатах Романа и Бориса, то мы увидим, что результаты похожи и «правдоподобны» (78 против 72 у первого из учеников, 70 против 80 у второго). Однако в результатах Бориса присутствуют последовательности из четырех, пяти и даже девяти одинаковых чисел подряд, а в результатах Романа последовательности из единиц или нулей очень коротки (максимум три единицы или нуля подряд). Именно это и наводит на подозрения.
Проанализируем этот факт с точки зрения условной вероятности. Учитывая, что каждый бросок монеты никак не зависит от предыдущих, после каждого результата единицы и нули должны появляться примерно с одинаковой частотой. Видим, что в результатах Романа после одной единицы снова единица встречается 47 раз, ноль — 30 раз. После двух единиц подряд единица встречается всего 5 раз, в то время как ноль — 18. После каждой из 5 последовательностей из трех единиц всегда находится ноль. Подобную картину мы наблюдаем только в результатах Романа. В результатах Бориса все иначе: например, после двух единиц подряд снова единица встречается 18 раз, ноль — 14 раз; после трех единиц подряд 9 раз встречается единица и 9 раз — ноль. Следовательно, представление Романа о том, что в распределении нулей и единиц не должно быть «длинных» участков, состоящих только из нулей или только из единиц, и позволило преподавателю определить жульничество.
В следующей задаче обсуждение того, как информация о предыдущих событиях влияет (или не влияет) на вероятность последующих, еще интереснее. Игра, о которой мы сейчас расскажем, является адаптацией классической дилеммы заключенного и показывает, насколько сложно рассчитать, как именно определенная информация влияет на вероятность.
Телеконкурс
Одно из заданий телеконкурса состоит в том, что нужно угадать, за какой дверью находится приз. Конкурсанта просят выбрать одну из трех дверей. Затем ведущий конкурса (он знает, за какой дверью находится приз) открывает одну из двух дверей, не выбранных конкурсантом, за которой нет приза, и предлагает поменять изначально выбранную дверь на другую закрытую. Стоит ли принимать предложение ведущего, чтобы повысить шансы на победу?
Химик Лайнус Полинг (1901-1994) получил первую Нобелевскую премию в 1954 году за работы в области квантовой химии. После вручения ему второй премии — Нобелевской премии мира — в 1962 году за кампанию против испытаний ядерного оружия лауреат шутливо заметил, что получить первую премию было очень сложно: вероятность этого составляла один на шесть миллиардов (это население Земли). Вторая, по его мнению, была не столь почетна: вероятность этого равнялась одному на несколько сотен (число живущих на тот момент лауреатов Нобелевской премии). Где же кроется ошибка в этих забавных, но неверных рассуждениях?
Чтобы считать, что вероятность получения второй Нобелевской премии зависит только от числа ее прошлых лауреатов, необходимо, чтобы Нобелевский комитет решил дать премию тому, кто уже получал ее ранее. Однако если мы не располагаем такой информацией, то получить вторую премию с точки зрения теории вероятности столь же сложно, что и первую, так как комитет не принимает во внимание, кто уже получал премию раньше, а кто — нет.
Очевидно, что рассматривать получение Нобелевской премии исключительно с точки зрения теории вероятностей — уже шутка, так как все зависит не столько от случая, но главным образом от заслуг человека.
Лайнус Полинг (справа) получает Нобелевскую премию мира.
Это знаменитая противоречивая задача теории вероятностей, в которой нужно определить, как изменяется вероятность того, что за закрытой дверью находится приз. Когда конкурсант выбирает одну из дверей, вероятность выигрыша равна 1/3. Эта вероятность не изменяется, когда ведущий выбирает одну из оставшихся дверей (за которой нет приза) и открывает ее, поскольку уже известно, что за одной из двух других дверей нет приза. Однако изменяется вероятность того, что приз находится за другой закрытой дверью: она равнялась 1/3 и стала равна 2/3 (вероятности для закрытых дверей складываются). Поэтому конкурсант должен согласиться изменить свой выбор, потому что в этом случае вероятность выигрыша составит 2/3. Противоречивость задачи в том, что вероятность выигрыша для изначально выбранной двери не изменяется. Если бы ведущий не выбирал одну из дверей, за которой нет приза, а вместо этого конкурсант указывал на одну из двух оставшихся дверей и спрашивал, находится ли за ней приз, а ведущий ответил бы «нет», то в этом случае вероятность выигрыша для изначально выбранной двери изменилась бы с 1/3 на 1/2.
