Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр - [24]
Эта игра допускает одно интересное обобщение. Пусть имеется n дверей, и за одной из них находится приз. Конкурсант выбирает одну дверь (не открывая ее), ведущий открывает одну из других дверей, за которой нет приза, а затем разрешает изменить первоначальный выбор. Затем ведущий открывает другую дверь (одну из всех закрытых, за исключением той, что конкурсант выбрал последней), за которой также нет приза, и снова разрешает конкурсанту изменить выбор. Игра продолжается до тех пор, пока не останется две двери и конкурсант должен будет сделать окончательный выбор. Как нужно действовать конкурсанту на протяжении игры, чтобы вероятность выигрыша была наибольшей? Какой в этом случае будет вероятность выигрыша?
Будем отталкиваться от того факта, что при открытии двери ведущим изменяются вероятности для всех закрытых дверей, кроме той, которую выбрал конкурсант. Следовательно, вероятность выигрыша будет наибольшей тогда, когда игрок не будет менять свой выбор, пока не останутся лишь две закрытые двери. В этом случае игрок изменит свой выбор и вероятность победы будет равна (n - 1)/n. Таким образом, при первом выборе вероятность выигрыша составляет 1 /n (так как число дверей равно n). Если игрок не меняет свой выбор до момента, когда останутся лишь две закрытые двери, для изначально выбранной двери вероятность выигрыша будет равна 1/n, для другой — (n - 1)/n, которая и будет наибольшей. Если же, напротив, на каком-то из промежуточных шагов игрок изменит свой выбор, в этом случае определить вероятности будет несколько сложнее. Результат будет зависеть от того, сколько раз игрок изменит свой выбор и когда. В любом случае вероятность в этом случае будет выше 1/n, так как все вероятности увеличатся по отношению к исходной минимум один раз. Когда останутся только две двери, ни для одной из них вероятность выигрыша не будет равной (n - 1)/n. Если вам интересно подробнее ознакомиться с этой игрой, попробуйте вычислить вероятности для разных стратегий. Получить верный результат будет непросто, но очень интересно.
Математика и ожидание
Одно из наиболее важных понятий, которое следует учитывать, принимая решения в азартных играх, — математическое ожидание. Перед тем как дать этому термину точное определение, рассмотрим несколько примеров. Допустим, нам предлагают сыграть в такую игру: бросают две монеты, если выпадает две решки, выигрыш равен 4 евро, если выпадает два орла — 1 евро, если выпадает орел и решка — мы проигрываем 3 евро. Стоит ли играть по таким правилам? Сколько мы надеемся выиграть (или проиграть)?
При броске двух монет имеется четыре возможных результата: две решки (р = 1/4), два орла (р = 1/4), орел и решка (р = 1/4), решка и орел (р = 1/4). Каждые четыре броска в среднем один раз выпадут две решки, один раз — два орла и два раза — орел и решка. Следовательно, в среднем наш выигрыш составит 1 • 4 + 1 • 1 + 2 • (—3) = -1 евро. Это означает, что играть невыгодно и в среднем каждые четыре броска мы будем проигрывать 1 евро, то есть 25 центов за игру. Аналогичный результат можно получить, умножив вероятности для каждого исхода на соответствующий выигрыш (или проигрыш, который будет выражаться отрицательным числом) и сложив полученные результаты. В таком случае получим
1/4.4 + 1/4.1 + 1/2 • (-3) = -1/4 евро.
Рассмотрим второй пример. В игре с обычным кубиком банк платит 6 фишек, если выпадает шестерка, 4 фишки, если выпадает нечетное число, в остальных случаях мы не получаем ничего. Сколько нужно ставить в каждом розыгрыше, чтобы игра была сбалансированной?
Учитывая, что р(6) = 1/6 и р(нечетное число) = 1/2, в каждом розыгрыше мы ожидаем выиграть 1/6•6 + 1/2•4 + 1/3•0 = 3 фишки. Следовательно, игра будет равновесной (ни банк, ни игрок не будут иметь преимущества), если каждая ставка будет равняться 3 фишкам.
Эти примеры позволяют нам ввести понятия математического ожидания и равновесных игр, а также привести их определения в общем виде. Пусть имеются события S>1 S>2, S>3 ..., S>n, являющиеся попарно несовместными (ни одно из событий не может произойти одновременно с другим), которые могут произойти в азартной игре. Вероятности событий равны р>1 р>2, р>3 ..., р>n (выполняется условие p>1 + p>2 + p>3 + … + р>n = 1), суммы ставок соответственно равны r>1, r>2, r>3 ..., r>n. Ожидаемый выигрыш или математическое ожидание М [X] игры или случайного события, где результатом является одно из событий S>1, S>2, S>3, ..., S>n, определяется следующим образом:
М [X] = р>1 • r>1 + р>2 • r>2 + р>3 • r>3 + ... + p>n • r>n.
На основании этого определения говорят, что игра является справедливой (или равновесной), если математическое ожидание (средний выигрыш на каждом ходу) совпадает с суммой сделанной ставки. Также говорят, что общее математическое ожидание игры (ожидаемая сумма выигрыша минус сумма сделанных ставок) равна 0.
Рассмотрим, как можно определить еще одним способом, является ли азартная игра равновесной, с помощью математического ожидания.
Игра с тремя кубиками
Игра заключается в следующем: игрок ставит 1 евро на число от 1 до 6, например на 3. Затем бросают три обычных кубика. Если 3 выпадает один раз, выигрыш составляет 1 евро, если 3 выпадает два раза, выигрыш равен 2 евро, если выпадает три раза — 3 евро. Кроме этого, при каждом выигрыше игроку возвращается сумма сделанной ставки в 1 евро. Если ни на одном из кубиков не выпадает 3, игрок проигрывает свою ставку в 1 евро. Является ли игра равновесной, либо же одна из сторон имеет преимущество?
Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.
Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.
Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.
Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.
Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.
В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.
Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.