Диалоги о математике - [16]

Шрифт
Интервал

Гиерон. Это правда, мой дорогой Архимед, я получаю вести от властителей, с которыми я поддерживаю дружеские отношения, — они интересуются твоими изобретениями.

Архимед. И что же ты отвечаешь им?

Гиерон. Я говорю, что, до тех пор пока продолжается война, на эти вопросы не могут быть даны ответы.

Архимед. Надеюсь, ты понял, почему я не обнародую своих секретов. Мне удалось их сохранить даже ог тех, кто выполнял мои планы. Каждый знает только несколько деталей. Я рад, что ты никогда не задавал мне вопросов, потому что я вынужден был бы отказаться отвечать на них.

Гиерон. Но теперь я все же задам тебе несколько вопросов. Не бойся, я буду спрашивать не о твоих секретах, а только об основополагающих принципах.

Архимед. Думаю, что смогу ответить на такие вопросы, не преступив своей клятвы.

Гиерон. Прежде чем начать, я хотел бы спросить тебя еще кое о чем. Почему так важно было для тебя, чтобы с твоими идеями о пользе математики все согласились?

Архимед. Вероятно, я был просто глупцом, но я полагал, что мог бы изменить ход истории. Я был обеспокоен будущим Греции и думал, что, если бы мы применяли математику в больших масштабах — в конце концов математика является изобретением греков и лучшим достижением греческого ума, — мы могли бы спасти наш греческий образ жизни. Теперь, я считаю, уже поздно. Римляне завоюют не только Сиракузы, но и все остальные греческие города, наше время кончается.

Гиерон. Но даже если это случится, греческая культура не исчезнет бесследно: римляне переймут ее. Взгляни, как они уже сейчас пытаются подражать нам. Они копируют наши статуи, переводят нашу литературу — и, ты видишь, Марцелл заинтересовался твоей математикой.

Архимед. Римляне никогда ее не поймут. Они слишком практичны и не интересуются абстрактными идеями.

Гиерон. Они определенно заинтересовались ее практическим использованием.

Архимед. Но эти вещи неразделимы. Нужно быть мечтателем из мечтателей, чтобы успешно применять математику на практике.

Гиерон. Это звучит достаточно парадоксально. Я думал, прежде всего надо иметь практический склад ума, для того чтобы применять математику. Вот я и подошел к первому вопросу. Что в действительности является секретом новой науки, которую ты изобрел, — назовем ее прикладной математикой? И в чем главное различие между твоей прикладной математикой и тем видом математики— назовем ее чистой математикой, — которой обучают в школе?

Архимед. Прости, но я разочарую тебя. Не существует иной математики, кроме той, которой наши учителя обучали нас, и не без успеха, как я вспоминаю. Прикладной математики, отличной от математики как таковой, не существует. Мой секрет так хорошо скрыт, потому что он вовсе не является секретом; его очевидность — лучшая маскировка. Он спрятан подобно золотой монете, брошенной в пыль на улице.

Гиерон. Ты хочешь сказать, что твои изумительные машины основаны на математике, которую знает каждый образованный человек?

Архимед. Ты недалек от истины.

Гиерон. Можешь ли ты привести пример?

Архимед. Хорошо. Возьмем в качестве примера зеркало, которое сегодня сослужило такую превосходную службу. Я просто использовал хорошо известное свойство параболы: если какую-нибудь точку Р параболы соединить с фокусом параболы, а затем провести через Р прямую, параллельную оси, то эти две линии образуют равные углы с касательной к параболе в точке Р. Эту теорему можно найти в трудах моих знаменитых коллег из Александрии.

Гиерон. Трудно поверить, что ты уничтожил половину флота Марцелл а с помощью простой теоремы, одной из сотен подобных ей. Я смутно помню ее, хотя и забыл доказательство.

Архимед. Вероятно, когда ты услышал одно из ее остроумных доказательств, ты понял его и, возможно, даже восхищался его красотой и изяществом, но и только. Некоторые математики пошли дальше — они исследовали простые следствия или нашли новые доказательства, но на этом остановились. Я просто продвинулся еще на один шаг: я увидел также ее нематематические следствия.

Гиерон. Я думал, ты открыл новые законы оптики.

Архимед. Оптика — всего лишь ветвь геометрии. Я применил закон отражения лучей, уже давно известный.

Гиерон. Ты имеешь в виду, что, применяя математику, не обязательно получать новые математические результаты, надо только практические ситуации и их математические образы связывать с некоторыми хорошо известными математическими теоремами?

Архимед. Это совсем не так просто. Часто случается, что теоремы, в которой кто-то нуждается, не существует, и тогда приходится самому находить и доказывать ее. Но даже если для практической ситуации не обязательно находить математический образ, как ты говоришь (я предпочитаю называть его математической моделью), это не то же самое, что подобрать пару перчаток. Прежде всего для одной и той же практической ситуации можно сконструировать много математических моделей и выбрать наиболее подходящую из них, которая соответствует ситуации настолько близко, насколько того требует практическая цель (она может даже не соответствовать ей полностью). В то же время модель должна быть не слишком сложной и математически осуществимой. Все эти требования, конечно, противоречивы, и необходимо искусное балансирование ими. Нужно найти хорошее приближение к реальной ситуации по всем важным для наших целей пунктам и пренебречь теми, которые не важны для нас- Модель не обязана быть подобной моделируемому явлению во всех деталях, а только в тех из них, которые действительно важны. С другой стороны, одна и та же математическая модель годится для совершенно различных практических ситуаций. Например, я использовал свойства параболы при конструировании катапульты, так как путь камня, брошенного катапультой, до некоторой степени может быть аппроксимирован параболой. Я использовал параболу еще при подсчете глубины погружения корабля под действием собственного веса. Конечно, поперечное сечение корабля не имеет точной формы параболы, но более реалистическая модель не была бы математически осуществима. Тем не менее результаты достаточно хорошо согласуются с фактами. В частности, я смог найти условия, при которых корабль, находясь под действием волн и ветра, сохранит вертикальное положение, потому что его центр тяжести будет стремиться занять самое низкое возможное положение. Пытаясь описать сложную ситуацию, можно применять очень грубую модель, так как даже она дает, по крайней мере качественно, правильные результаты. А это может иметь большее практическое значение, чем количественные результаты. Мой опыт доказывает, что самая грубая математическая модель помогает лучше понять практическую ситуацию, так как при создании математической модели мы стремимся учесть все логические возможности, однозначно определить все понятия и различить важные и второстепенные факторы.


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.


Загадки астрономии

В предлагаемой вниманию читателей книге американского популяризатора О. О. Байндера в общедоступной форме рассказывается о многочисленных космических загадках. Некоторые из них уже «с бородой», другие связаны с открытиями последних лет.


Род человеческий

В этой книге затронут широкий круг проблем, связанных с биологией человека, — его место в природе, биологические и социальные особенности, закономерности его индивидуального и исторического развития, взаимоотношения с окружающей средой.Автор касается и многих других сторон человеческого бытия, которые приобрели в наши дни большую социальную и политическую значимость.Книга хорошо иллюстрирована, просто и ясно написана и будет интересна массовому читателю.


Краткая история биологии

В книге известного популяризатора науки А. Азимова рассматривается сложный путь развития биологии с древних времен до наших дней. Автор уделяет внимание всем отраслям биологии, показывая их во взаимодействии со смежными науками.Читатель узнает о вкладе в биологию великих ученых всех времен — Гарвея, Левенгука, Геккеля, Дарвина, Пастера, Ивановского, Мечникова, Павлова и других.Написанная просто и доступно, книга будет интересным и полезным чтением для преподавателей высшей школы, учителей, студентов, школьников и для всех любителей естественных наук.


Чувства животных и человека

Книга известных американских ученых, супругов Лоруса Дж. Милна и Маргарет Милн, «Чувства животных и человека» — занимательный, а местами и поэтичный рассказ об ощущениях, свойственных живым существам. О сложных проблемах бионики авторы говорят легко и просто, без излишней наукообразности. Мы узнаем из книги, почему пчелы не видят красного цвета, как птицы ориентируются при перелетах, каким образом летучие мыши чувствуют преграды на своем пути и многое, многое другое. При этом Милны все время сравнивают чувства животных с человеческими чувствами, наводят читателя на мысль о том, что живые организмы с их сложной и малоизученной структурой органов чувств представляют большой интерес не только для биологов, но и для физиков, математиков и особенно конструкторов, создающих самоорганизующиеся устройства.