Диалоги о математике - [17]

Гиерон. Даже если математическая модель приводит к результатам, отличным от действительности, она может быть полезна, так как недостатки одной модели могут быть учтены при создании другой, лучшей модели. Мне кажется, прикладная математика похожа на войну; иногда поражение ценнее победы, так как помогает найти недостатки нашего оружия или стратегии.

Архимед. Теперь ты действительно постиг существо проблемы.

Гиерон. Расскажи мне что-нибудь еще о своих зеркалах.

Архимед. Я уже изложил тебе основную идею. После того как я пришел к мысли использовать упомянутые свойства параболы, нужно было разрешить проблемы обработки и полировки металлического зеркала в форме вогнутого параболоида вращения, однако я предпочел бы не говорить об этом. Конечно, я также должен был выбрать подходящий сплав.

Гиерон. Даже не вникая в твои секреты, я понял, что, кроме свойств параболы, ты должен многое знать о металлах и об искусстве их обработки. Выходит, что знаний математики недостаточно, если кто-то хочет применять их на деле. Не похож ли человек, желающий применять математику, на человека, пытающегося ехать верхом на двух лошадях одновременно?

Архимед. Я немного тебя поправлю: тот, кто намерен применять математику, похож на человека, который хочет запрячь двух лошадей в одну повозку: И это не так уж трудно сделать. Конечно, при этом необходимы некоторые познания как о лошадях, так и о колесницах, но каждый из твоих возничих обладает подобными знаниями.

Гиерон. Теперь я совершенно запутался: я все время считал, что прикладная математика — это какое-то таинство, а ты показал, что в действительности все очень просто. Но когда я убедился, что это на самом деле просто, ты показал мне, что все гораздо сложнее, чем я себе представлял.

Архимед. Принципы очевидны, но детали иногда бывают очень запутаны.

Гиерон. Я все еще не понимаю, что ты подразумеваешь под математической моделью. Расскажи мне об этом подробнее.

Архимед. Помнишь ли ты сферу, которую я построил несколько лет назад для демонстрации движения Солнца, Луны и пяти планет, с помошыо которой можно показать, как происходят затмения Солнца и Луны?

Гиерон. Конечно, ведь это одна из диковин в моем дворце, которую я показываю всем гостям; каждый думает, что это нечто удивительное. Может быть, это математическая модель Вселенной?

Архимед. Нет. Я назвал бы ее физической моделью. Математические модели невидимы. Они существуют только в нашем сознании и могут быть выражены в формулах. Математическая модель Вселенной — нечто общее между действительным миром и моей физической моделью. В физической модели, например, каждая планета — крошечный шар размером с апельсин. В математической модели Вселенной планеты изображаются просто точками.

Гиерон. Мне кажется, я начинаю понимать, что именно ты имеешь в виду под математической моделью. Вернемся к примеру с лошадьми. Искусство запрягать лошадей и править ими — это совершенно не то, что разводить лошадей. Не является ли искусство прикладной математики чем-то совершенно отличным от открытия и доказательства теорем?

Архимед. Ты, конечно, прав, хотя человек, который выращивает лошадей, обычно знает о них все и может управлять ими лучше, чем кто-либо другой. Что касается математики, то я подчеркнул раньше: для успешного применения нужно глубокое понимание ее, и если кто-то хочет применить математику к новым объектам, он должен быть творческим математиком. И наоборот, интерес к применениям может помочь в чисто математических исследованиях.

Гиерон. Как это возможно? Не приведешь ли ты какой-нибудь пример?

Архимед. Вероятно, ты помнишь, что одно время я очень интересовался механикой, а более точно — нахождением центров тяжести тел. Результаты, которые я получил, помогли мне не только построить механизмы, но и доказать новые геометрические теоремы. Я разработал специальный метод исследования геометрических задач с помощью механики и использования центров тяжести фигур. Метод эвристический — не дающий точного доказательства, но благодаря ему многие теоремы становились мне ясны. Конечно, позднее теоремы, открытые посредством моего механического метода, я строго доказывал традиционными методами геометрии. Найти доказательство значительно легче, если предварительно уже получены некоторые сведения из механических аналогий и, таким образом, известно, что должно быть доказано.

Гиерон. Укажи мне какую-нибудь теорему, которую ты нашел таким странным путем.

Архимед. Площадь любого сегмента параболы равна четырем третям площади треугольника, который имеет то же основание и ту же высоту. После обнаружения результата я доказал его с помощью традиционных методов.

Гиерон. Если ты установил эти теоремы с помощью механики, зачем тебе нужно еще геометрическое доказательство?

Архимед. Когда я открыл мой метод, результаты, полученные с его помощью, были не совсем точны; позднее, анализируя случаи, когда этот метод вводил меня в заблуждение, я настолько развил его, что теперь он никогда не подводит меня. Но я еще не уверен до конца, что результаты, полученные таким путем, действительно верны. Может быть, однажды кто-нибудь докажет это. Но до сих пор я не имею полной уверенности в методе.