Диалектика природы и естествознания - [12]

.

«Умозрительное» происхождение математических понятий не означает, что они суть «продукты чистого мышления». При создании конструктов «строительный материал» берется из уже имеющегося знания, но из него создаются новые сочетания, которых не было в наличном знании. Таковы понятия дифференциала и интеграла, мнимые и комплексные числа, бесконечно удаленные точки и прямые в проективной геометрии и т. п. Все понятия создаются людьми. Существенно, однако, то, что в содержании научных понятий определяющая роль принадлежит объективно истинному содержанию, а конструктивный элемент играет подчиненную роль. В содержании же художественных образов это соотношение может быть прямо противоположным.

Представители современного математического эмпиризма рассматривают математику уже не как эмпирическую, а как «метаэмпирическую» науку. Это позволяет существенно расширить круг математических понятий, обосновываемых «эмпирически» в этом смысле слова. Они утверждают, например, что «математика есть наука о формальных методах», т. е. исследует не содержание, а только форму математического знания, законы построения искусственного языка[34]. Но такой подход не позволяет решить вопроса об объективных основаниях математики, так как хотя язык и состоит из материальных элементов, но они созданы людьми и не существуют независимо от них. Современный эмпиризм игнорирует интерпретации формальных систем, т. е. абстрактные объекты.

Такой подход способствует распространению мнения об «информационной пустоте математики», о «конвенциональном характере» ее положений. В русле неоэмпиризма (или формализма) предпринимались попытки формального обоснования математики, которое должно было быть достигнуто без обращения к смысловой стороне математических выражений[35]. Таким образом, «живая» математика здесь подменялась мертвой схемой. Между тем математическому мышлению свойственна диалектика, ему в высшей степени присуща всесторонняя, универсальная гибкость понятий, гибкость, доходящая до тождества противоположностей[36], проистекающая из связи абстрактного понятийного и конкретно-образного содержания. Искусственные языки с их жестко фиксированной семантикой не в состоянии отразить это богатое содержание. Поэтому формальными средствами нельзя решить проблему обоснования математики. Математическому мышлению недостаточно логики формальной, ему нужна логика диалектическая.

2. Диалектика количественных и качественных отношений и математическое познание

На каждом историческом этапе развития математика, как и любая другая наука, представляет собой определенный конкретный и в известной степени фиксированный способ и результат познания своего объекта. Однако содержание знания об объекте определяется не только им самим, но и особенностями методов познания. Последние же зависят от целого ряда факторов — социальных, экономических, технических, от уровня развития смежных наук, от мировоззрения. Нередко изменение содержания математического знания и способов его получения истолковывается как изменение самого объекта науки. В этом случае объект отождествляется с метаобъектом и оказывается проекцией сложившихся к данному моменту представлений об объекте (как правило, неполных, относительных, ограниченных). «Недостатком такого принципа, — подчеркивает Г. Г. Шляхин, — является подмена реальной действительности ее теоретизированной частью»[37]. Между тем ни в какой момент развития математического познания его объект не исчерпывается имеющимися в наличии знаниями о нем. Абсолютизация познанного, как и абсолютизация еще не познанного, одинаково неприемлемы для диалектического мышления. Обе точки зрения неспособны объяснить процесс непрестанного развития математики, расширения математического знания.

В связи с тем, что на роль основного понятия математики в настоящее время выдвигается понятие структуры, некоторые авторы говорят об изменении не предмета, а объекта математического познания[38]. Этот факт истолковывается иногда также в том смысле, что современная математика исследует уже не количественную определенность материального мира, а его «структурный аспект». Так, И. Г. Федоров пишет: «Единственным объектом современной математики является структурный аспект материи…»[39] Другие авторы, желая сохранить понимание математики как науки о количественных отношениях и вместе с тем как-то учесть роль структуры в современном математическом познании, пытаются расширить содержание философской категории «количество», включив в нее понятие структуры[40]. Количественные связи при этом определяют не как отношения между величинами, а как любые структуры, которые сравнительно независимы от конкретного содержания соотносящихся сторон. Утверждают даже, что «изучаемые математикой отношения всегда являются количественными»[41]. в связи с этим принятое в диалектическом материализме понимание категории количества как единства числа и величины объявляется узким и устаревшим. Между тем в основе концепции, определяющей количество как единство числа и величины, лежит обобщение всего научного и практического опыта людей, и никакого другого научного смысла, на наш взгляд, эта категория не имеет