А ну-ка, догадайся! - [48]

В этой главе собрано множество известных парадоксов о времени и движении. Некоторые из них, например парадоксы Зенона, оживленно обсуждались еще древними греками. Другие парадоксы, такие, как «замедление» времени в теории относительности и так называемые «машины бесконечности», способны решать «сверхзадачи». Все они еще больше разохотят вас к парадоксам и к математике.

Упомянем лишь о некоторых связях, ведущих прямиком от собранных в этой главе парадоксов к серьезной математике и науке.

Парадокс с велосипедным колесом знакомит вас с циклоидой и служит великолепным введением в геометрию кривых, более сложных, чем конические сечения. История о разочаровании, постигшем лыжника, дает наглядное представление о мощи методов элементарной алгебры, позволяющей доказать неожиданный результат. Парадоксы Зенона о резиновом канате, сверхзадачах и собаке, бегающей от одного хозяина к другому, знакомят с понятием предела, весьма существенным для понимания дифференциального и интегрального исчисления и всей высшей математики. Решение этих парадоксов связано с теорией бесконечных множеств Георга Кантора, с которой мы уже встречались в главе 2. Задача о червяке, ползущем по резиновому канату, решается с помощью знаменитого так называемого гармонического ряда.

Парадоксы о времени, идущем назад, тахионах и путешествиях во времени затрагивают фундаментальные понятия теории относительности. Трюк, позволяющий избегать путешествий во времени с помощью разветвляющихся путей и параллельных миров, познакомит вас с необычным подходом к квантовой механике, известным под названием «подход многих миров».

Заключительный парадокс о конфликте между детерминизмом и индетерминизмом позволяет читателю бросить беглый взгляд на одну из извечных и наиболее глубоких проблем философии.

«Сумасшедшие» часы Льюиса Кэрролла

_{Какие часы точнее показывают время: те, которые отстают за сутки на 1 мин, или те, которые совсем не идут?}

_{Льюис Кэрролл рассуждал следующим образом.}

_{Кэрролл. Часы, отстающие на 1 минуту в сутки, показывают точное время раз в 2 года. Часы, которые совсем не идут, показывают точное время дважды в сутки. Вы согласны?}

_{Алиса задумалась.}

_{Алиса. Я знаю, что остановившиеся часы показывают точное время ровно в 8 часов утра и ровно в 8 часов вечера, но как узнать, когда именно наступает ровно 8 часов утра или ровно 8 часов вечера?}

_{Кэрролл. Очень просто, дитя мое. Встань лицом к циферблату остановившихся часов и возьми в руки заряженный пистолет.}

_{Кэрролл. Не своди глаз со стрелок часов. И в тот момент, когда часы покажут точное время, выстрели из пистолета. Всякий, кто услышит твой выстрел, будет знать, что наступило ровно 8 часов.}

Льюис Кэрролл — псевдоним скромного преподавателя математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде Чарлза Лютвиджа Доджсона. Ему принадлежит заметка «Какие часы лучше?» о «сумасшедших» часах[23].

Каким образом Кэрролл определил, как часто часы, отстающие ежесуточно на 1 мин, показывают точное время? Поскольку часы каждые сутки отстают на 1 мин, они покажут точное время, когда отстанут на 12 часов, то есть через 720 суток.

Загадочное колесо

_{Парадокс Льюиса Кэрролла с часами — не более чем шутка, выдержанная в лучших традициях английского нонсенса. А вот «серьезный» парадокс, заслуживающий самого пристального внимания. Знаете ли вы, что верхняя часть велосипедного колеса движется быстрее, чем нижняя?}

_{Именно поэтому спицы в верхней половине катящегося велосипедного колеса сливаются в сплошной блестящий диск.}

_{Взгляните на два последовательных положения колеса. Точка А вблизи вершины проделала гораздо больший путь, чем точка В вблизи основания. Скорость — это расстояние, проходимое в единицу времени. Следовательно, точка А движется быстрее точки В. Верно?}

О каких скоростях идет речь, когда говорят, что верхняя часть катящегося колеса движется быстрее нижней? Разумеется, о скоростях относительно земли.

Парадокс легко решается, если рассмотреть кривую, известную под названием «циклоида». Любая точка на ободе колеса, катящегося по прямой, описывает циклоиду. В точке касания колеса с поверхностью земли скорость равна нулю. Оторвавшись от земли при качении колеса, точка на ободе начинает разгоняться и в верхней точке движется с максимальной скоростью.

Затем по мере приближения к земле движение точки на ободе замедляется, и в новую точку касания она приходит с нулевой скоростью. На колесах железнодорожных вагонов имеются выступы — реборды. Когда колесо катится по рельсу, точка на ободе реборды, описывая небольшую петлю, расположенную ниже уровня рельса, какое-то время движется назад.

Циклоида обладает множеством красивых математических и механических свойств. Одна из глав моей «Шестой книги математических забав» из журнала Scientific American называется «Циклоида — Елена Прекрасная геометрии». В ней, в частности, рассказывается, как начертить циклоиду с помощью катящейся банки из-под кофе. Построим циклоиду и выведя ее уравнение, вы сможете лучше оценить изящество этой кривой и ее необычные свойства.

Разочарованный лыжник

_{Лыжник. Какой великолепный день! Вот если бы только скорость подъемника была больше 5 км/ч!}