А ну-ка, догадайся! - [50]

Теория Кантора позволяет рассматривать бесконечные множества (будь то множества точек на прямой или мгновений времени) не как набор изолированных индивидуальных точек и событий, а как нечто целое. Суть парадоксов Зенона и состоит как раз в том, что ни пространственные отрезки, ни временные промежутки недопустимо рассматривать как состоящие из бесконечно большого числа дискретных членов, изолированных друг от друга, как следы на снегу. Решение парадоксов Зенона требует теории типа канторовской теории множеств, в которой наши интуитивные представления об отдельных точках и индивидуальных событиях объединены в систему — последовательную теорию бесконечных множеств.

Резиновый канат

_{А вот совсем новый парадокс, о котором не знал Зенон. На одном конце резинового каната находится червяк. Длина каната — 1 км.}

_{Червяк ползет по канату с постоянной скоростью 1 см/с. Через 1 с после того, как червяк пустился в путь, канат растянули, и его длина стала равной 2 км. Через 2 с канат снова растянули, и его длина достигла 3 км. Каждую следующую секунду канат удлиняется на 1 км. Доползет ли червяк когда-нибудь до конца каната?}

_{Ваша интуиция подсказывает вам, что червяк никогда не доползет до конца каната, но он все же доползет! Доползет-то доползет, но когда?}

Задача легко решается, если учесть, что канат растягивается равномерно, как резиновая лента. Следовательно, при каждом растяжении червяк переезжает вперед — его переносит на себе, растягиваясь, сам канат.

Путь, пройденный червяком за каждую секунду, удобно выражать в долях длины каната к концу той же секунды. Как только сумма дробей, выражающих эти доли, станет равной 1, червяк достигнет конца каната.

В одном километре 100000 см, поэтому за первую секунду червяк преодолеет 1/100000 длины каната. За вторую секунду червяк проползет еще 1 см, что составляет 1/200000 от новой длины каната, которая достигнет уже 2 км. За третью секунду червяк проползает еще 1 см, что составляет 1/300000 от длины каната, которая к этому времени достигнет 3 км, и т. д. По истечении k секунд червяк проползет расстояние, составляющее от «текущей» длины каната долю, которая представима в виде

В скобках стоит сумма первых k членов так называемого гармонического ряда. Заметим, что сумма членов, заключенных между 1/2 и 1/4, включая 1/4, то есть 1/3 + 1/4 больше, чем 2 х 1/4 = 1/2. Аналогично сумма членов, заключенных между 1/4 и 1/8, включая 1/8, то есть 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8, больше, чем 4 х 1/8 = 1/2. Следовательно, сумма членов ряда, заключенных между 1/1 и 1/2^k, включая 1/2^k, всегда больше, чем k x 1/2 = k/2 в чем нетрудно убедиться, если члены сгруппировать: возьмите сначала сумму двух первых членов, затем сумму следующих восьми членов и т. д.

Частная сумма членов гармонического ряда может быть сделана сколь угодно большой.

Червяк доползет до конца каната, прежде чем с момента старта истекут 2^{200 000} с. Более точная оценка составляет е¹⁰⁰⁰⁰⁰, где е — основание натуральных логарифмов (иррациональное число, чуть большее числа 2,7). Обе оценки дают представление о времени в пути (в с) и о пройденном червяком расстояния (в см).

Точная формула частичной суммы членов гармонического ряда приведена, например, в статье Р. П. Боаса и Дж. М. Ренча «Частичные суммы гармонического ряда»[24]. Когда червяк доползет до конца, длина каната будет во много раз превышать диаметр известной части Вселенной. На свой нелегкий путь червяк затратит время, которое во много раз превышает возраст Вселенной по оценкам современной космологии.

Разумеется, в задаче речь идет об «идеализированном» червяке и «идеализированном» канате — точке на прямой. Реальный червяк тихо скончался бы в самом начале путешествия, а реальный канат от растяжения стал бы таким тонким, что отдельные его молекулы оказались бы разделенными огромными пустыми промежутками.

Независимо от параметров задачи (начальной длины канала, скорости червяка, длины отрезка, на который увеличивается с каждой секундой длина каната) червяк всегда доползает до конца за конечное (хотя и очень большое) время. Интересные задачи возникают, если мы будем по-разному удлинять канат.

Например, что произойдет, если длина каната будет возрастать в геометрической прогрессии, скажем удваиваться в каждую секунду? В этом случае червяк никогда не достигнет конца каната.

Сверхзадачи

_{Современные философы оживленно обсуждают новый класс парадоксов времени — так называемые сверхзадачи. В одном из простейших парадоксов этой серии речь идет о лампе. Нажимая на кнопку, ее можно включать и выключать.}

_{В течение 1 мин лампа включена, в течение следующей 1/2 мин — выключена, затем 1/4 мин лампа снова включена, после чего в течение 1/8 мин снова выключена и т. д. Вся серия включений и выключений длится равно 2 мин.}

_{Будет ли лампа по истечении 2 мин включена или выключена?}

_{Каждое нечетное нажатие кнопки включает лампу, каждое четное — выключает ее. Если по истечении 2 мин лампа включена, то это означает, что последнее число нечетное. Если же по истечении 2 мин лампа выключена, то последнее число четное. Но последнего натурального числа не существует.}