А ну-ка, догадайся! - [51]

_{Лампа должна быть либо включена, либо выключена, но узнать, будет ли она включена или выключена, невозможно никаким способом!}

Парадоксы с «сверхзадачами», выполняемыми так называемыми «машинами бесконечности», и поныне волнуют специалистов по математической логике и философов. Парадокс с лампой известен под названием «лампа Томсона» — в честь впервые написавшего о нем Джеймса Ф. Томсона. Всякий согласится, что лампу Томсона нельзя построить реально, но дело не в этом. Главное в том, что если принять некоторые допущения, то лампа Томсона не приводит к логическим противоречиям. По мнению одних, лампа Томсона — вполне разумный «мысленный эксперимент», по мнению других, — вопиющая нелепость.

Парадокс с лампой Томсона беспокоит наш разум потому, что не существует логической причины, по которой лампу Томсона нельзя было бы бесконечно много раз включить и выключить. Если бегун Зенона успевает за 2 мин преодолеть бесконечно много отрезков дистанции, каждый из которых вдвое меньше предыдущего, то почему ровно за 2 мин нельзя успеть бесконечно много раз включить и выключить некую реально не существующую идеальную лампу? Но если лампа Томсона может за 2 мин бесконечно много раз перейти из состояния «вкл» в состояние «выкл», то это означает, что существует «последнее» натуральное число, с чем трудно согласиться.

Философ Макс Блэк сформулировал тот же парадокс несколько иначе. Он рассмотрел «машину бесконечности», переводящую шарик из лунки А в лунку В за 1 мин, затем возвращающую шарик из лунки В в лунку А за 1/2 мин, снова переводящую его из лунки А в лунку В за 1/4 мин и т. д., каждый раз вдвое быстрее, чем в предыдущий. Ряд 1 + 1/2 + 1/4… сходится, и все операции по перекатыванию шарика завершаются в течение 2 мин. Но в какой из лунок — в А или В — окажется шарик по истечении 2 мин?

В какой бы из них он ни оказался, это будет означать что последнее натуральное число либо четно, либо нечетно. Так как последнего счетного числа не существует, то обе возможности, по-видимому, исключаются.

Но если шарика нет ни в лунке А, ни в лунке В, то где же он?

Основные статьи по анализу «сверхзадач» опубликованы в сборнике «Парадоксы Зенона» под редакцией Весли Ч. Солмона. Подробному разбору такого рода парадоксов посвящена книга Адольфа Грюнбаума «Современная наука и парадоксы Зенона» [см. список литературы. — Перев.].

Мэри, Том и Фидо

_{Перед вами сверхзадача, выполненная собакой. В самом начале Фидо находится рядом с хозяином на расстоянии 1 км от Мэри.}

_{Том и Мэри начинают сближаться со скоростью 2 км/ч каждый. Фидо, одинаково любящий хозяина к хозяйку, бегает от одного к другому и обратно со скоростью 8 км/ч. Добежав до хозяина и хозяйки, Фидо мгновенно поворачивается и пускается назад.}

_{Путь Фидо представлен на графике в координатах время — расстояние. Куда будет обращена морда Фидо — к хозяину или к хозяйке, когда Том и Мэри встретятся посредине разделявшего их километрового отрезка?}

_{На этот вопрос, так же как на вопрос о том, будет ли включена или выключена по истечении бесконечной серии манипуляций с выключателем лампа Томсона, невозможно ответить. Но помочь Тому вычислить, какое расстояние пробежала собака, в наших силах…}

_{Том. Сколько пробежал Фидо?}

_{Но чтобы ответить на этот вопрос, мне нужно просуммировать длину бесконечно многих звеньев ломаной! Это очень трудная задача, Мэри!}

_{Мэри. Совсем не трудная, милый! Мы идем со скоростью 2 км/ч. Значит, каждый из нас проходит полкилометра за 15 мин. Так как сначала нас разделяло расстояние 1 км, мы встречаемся через 15 мин.}

_{Мэри. Фидо бегает со скоростью 8 км/ч. За четверть часа он пробегает 2 км. Вот и все.}

_{Том. Здорово! Мне даже не понадобился микрокалькулятор.}

_{Предположим теперь, что Том, Мэри и Фидо находятся там, где они встретились. Том и Мэри идут той же дорогой с той же скоростью, но в обратном направлении, а Фидо бегает от одного из них к другому со скоростью 8 км/ч. Где будет Фидо, когда расстояние между Томом и Мэри снова станет равным 1 км?}

_{Невероятно, но факт: Фидо не может находиться нигде между Томом и Мэри! Не верите? Убедитесь сами. Пусть вначале Фидо находится в любой точке километрового отрезка, разделяющего Тома и Мэри, которые начинают идти навстречу друг другу. Где бы ни находился Фидо, через 15 мин все трое сойдутся в центре отрезка.}

Первая задача (Том и Мэри идут навстречу друг другу, а Фидо бегает между ними туда и обратно) классическая. Она существует в различных вариантах.

Иногда это задача о мухе, летающей туда и обратно между двумя сближающимися локомотивами, иногда— задача о птичке, порхающей между двумя едущими во встречных направлениях велосипедистами.

Рассказывают, что когда эту задачу предложили американскому математику Джону фон Нейману, тот сразу назвал правильный ответ. «Поздравляю! — сказал собеседник фон Неймана, сообщивший ему задачу. — Большинство людей пытаются решить задачу очень трудным способом, суммируя бесконечный ряд отрезков». «Но именно это я и сделал», — с удивлением ответил фон Нейман.

Итак, в какую сторону будет обращена морда Фидо в тот момент, когда Том и Мэри сойдутся посредине разделявшего их километрового отрезка? Задать такой вопрос все равно что спросить, будет ли включена или выключена лампа Томсона по окончании всех манипуляций с выключателем, или в какой из двух лунок,