Teopeма Гёделя

Teopeма Гёделя

Нагель Эрнест, Ньюмен Джеймс Рой. Теорема Гёделя: Пер. с англ. Изд. 2-е, испр. — М.: КРАСАНД, 2010. — 120 с. (НАУКУ — ВСЕМ! Шедевры научно-популярной литературы.)

Вниманию читателя предлагается книга известного американского логика Э. Нагеля и опытного популяризатора науки Дж. Р. Ньюмена, посвященная теореме Гёделя о неполноте. Эта теорема была изложена в небольшой статье К. Гёделя, которая впоследствии сыграла решающую роль в истории логики и математики. Авторы настоящей книги, не пытаясь дать общий очерк идей и методов математической логики, строят изложение вокруг центральных, с их точки зрения, проблем этой науки — проблем непротиворечивости и полноты. Доказательство того факта, что для достаточно богатых математических теорий требования эти несовместимы, и есть то поразительное открытие Гёделя, которому посвящена книга. Не требуя от читателя по существу никаких предварительных познаний, авторы с успехом объясняют ему сущность одной из самых замечательных и глубоких теорем математики и логики.

Для специалистов по математической логике, студентов и аспирантов, а также всех заинтересованных читателей.

Жанр: Математика
Серия: НАУКУ_ВСЕМ!
Всего страниц: 27
ISBN: 978-5-396-00092-6
Год издания: 2010
Формат: Полный

Teopeма Гёделя читать онлайн бесплатно

Шрифт
Интервал

Нагель Эрнест, Ньюмен Джеймс Рой

Теорема Гёделя

Посвящается Бертрану Расселу


1

Введение

В 1931 г. в одном из немецких научных журналов появилась сравнительно небольшая статья с довольно-таки устрашающим названием «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» («О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем»). Автором ее был двадцатипятилетний математик из Венского университета Курт Гёдель, впоследствии работавший в Принстонском институте высших исследований. Работа эта сыграла решающую роль в истории логики и математики. В решении Гарвардского университета о присуждении Гёделю почетной докторской степени (1952) она была охарактеризована как одно из величайших достижений современной логики.

Однако в момент опубликования ни название гёделевской работы, ни содержание ее ничего не говорили большинству математиков. Упомянутые в ее названии Principia Mathematica — это монументальный трехтомный трактат Алфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела, посвященный математической логике и основаниям математики; знакомство с трактатом отнюдь не являлось необходимым условием для успешной работы в большей части разделов математики. Интерес к разбираемым в работе Гёделя вопросам всегда был уделом весьма немногочисленной группы ученых. В то же время рассуждения, приведенные Гёделем в его доказательствах, были для своего времени столь необычными, что для полного их понимания требовалось исключительное владение предметом и знакомство с литературой, посвященной этим весьма специфическим проблемам.

При всем этом подлинно революционный характер выводов, к которым пришел Гёдель, и их важнейшее философское значение ныне общепризнанны. Цель настоящего очерка состоит в том, чтобы сделать доступным для неспециалистов существо результата Гёделя и основную идею его доказательства.

Знаменитая работа Гёделя посвящена центральной проблеме оснований математики. Чтобы понять источник возникновения и характер этой проблемы, нам понадобятся некоторые предварительные рассмотрения. Каждый, кому приходилось преподавать элементарную геометрию, помнит, что геометрия строится как дедуктивная наука. Этим она отличается от экспериментальных наук, выводы которых приемлемы постольку, поскольку они согласуются с данными наблюдения и опыта. Идея о том, что любое верное утверждение может быть получено в качестве заключительного шага строгого логического доказательства, сформировалась еще в Древней Греции; именно греческим математикам принадлежит честь открытия так называемого «аксиоматического метода» и применения его для систематического изложения геометрии. Для аксиоматического метода характерно, что некоторые предложения — так называемые аксиомы или постулаты (примером может служить предложение, согласно которому через любые две точки можно провести одну и только одну прямую) — принимаются без доказательства; все же остальные предложения данной теории выводятся затем из этих аксиом. Можно сказать, что аксиомы образуют «базис» системы, в то время как теоремы, получаемые из аксиом при помощи одних только логических законов, — это «надстройка».

Аксиоматическое построение геометрии произвело глубокое впечатление на мыслителей всех времен — ведь совсем небольшого числа аксиом оказалось достаточным, чтобы из них можно было вывести поистине необозримое количество предложений. Более того, если каким-либо образом можно было удостовериться в истинности аксиом, а фактически на протяжении почти двух тысячелетий большинство ученых считало истинность аксиом само собой разумеющейся, то это уже автоматически обеспечивало истинность всех теорем и их совместимость. Поэтому аксиоматическое изложение геометрии в глазах многих поколений ученых представлялось своего рода идеальным образцом научного знания. И вполне естественно было задать вопрос, можно ли другие научные дисциплины, кроме геометрии, построить на такой же строгой аксиоматической основе. Тем не менее, хотя некоторые разделы физики формулировались аксиоматически еще в античные времена (например, Архимедом), до недавнего времени геометрия в глазах большинства ученых представлялась, по сути дела, единственной областью математики, построенной на аксиоматической базе.

Однако в течение последних двух столетий аксиоматический метод стал применяться все более широко и интенсивно. И для новых областей математики, и для более традиционных ее разделов, таких, например, как общая арифметика целых чисел, были сформулированы системы аксиом, представляющие эти математические дисциплины в некотором смысле адекватным образом. В результате укоренилось довольно прочное убеждение, что для любой математической дисциплины можно указать перечень аксиом, достаточный для систематического построения всего множества истинных предложений данной науки.

Работа Гёделя показала полную несостоятельность такого убеждения. Она представила математикам поразительный и обескураживающий вывод, согласно которому возможности аксиоматического метода определенным образом ограничены, причем ограничения таковы, что даже обычная арифметика целых чисел не может быть, оказывается, полностью аксиоматизирована. Более того, Гёдель доказал, что для весьма широкого класса дедуктивных теорий (включающего, в частности, элементарную арифметику) нельзя доказать их непротиворечивость, если не воспользоваться в доказательстве столь сильными методами, что их собственная непротиворечивость оказывается в еще большей степени подверженной сомнениям, нежели непротиворечивость самой рассматриваемой теории. В свете сказанного ни о какой окончательной систематизации многих важнейших разделов математики не может быть и речи, и нельзя дать решительно никаких надежных гарантий того, что многие важные области математики полностью свободны от внутренних противоречий.


Еще от автора Эрнест Нагель
Введение в логику и научный метод

На протяжении десятилетий эта книга служила основным учебником по логике и научному методу в большинстве американских вузов и до сих пор пользуется спросом (последнее переиздание на английском языке увидело свет в 2007 г.). Авторам удалось органично совместить силлогистику Аристотеля с формализованным языком математической логики, а методология познания излагается ими в тесной связи с логикой. Освещаются все стандартные темы, преподаваемые в базовом курсе по логике, при этом их изложение является более подробным, чем в стандартных учебниках.


Рекомендуем почитать
Первое и единственное наиболее полное руководство по копирайтингу

Первое и единственное самое полное руководство по копирайтингу для всех, кто желает продавать больше. Если на моей странице вконтакте будет более 25.000 подписчиков, то я подумаю о написании других руководств, которых вы нигде не найдёте, вроде полного руководства по созданию личного бренда (КАК СТАТЬ СУПЕРЗВЕЗДОЙ ИНТЕРНЕТА) и т.п.


Талантливые сотрудники. Воспитание и обучение людей в духе дао Toyota

Про бережливое производство написано много книг. Но независимо от того, какого аспекта методов Toyota касаются авторы – производственной системы в целом, концепции «точно вовремя», процесса быстрой переналадки, системы разработки продукции, – везде речь в первую очередь идет о людях. Без профессионального, добросовестного и увлеченного своей работой персонала ни Toyota, ни другие компании, которые идут по ее стопам, не достигли бы успеха. Воспитание, обучение и продвижение людей – это основа, на которую опираются все инструменты, методы и правила, составляющие суть бережливого производства.


Повелительница драконов

Мир, населенный управляемыми драконами, оседланными жестокими всадницами, разумными гигантскими насекомыми и другими не менее экзотическими тварями, оказывается полем битвы двух древних властелинов. Каждый из этих монстров имеет свою точку зрения на устройство мира. Они определяют, как жить в этом мире людям, и используют их и других существ по своему усмотрению.Жажда мести делает девочку, потерявшую родителей и родной дом, жестокой воительницей. Она идет к своей цели, сеет смерть и не подозревает, что уже давно является лишь орудием в битве монстров.Далеко не каждому человеку открывается его истинное предназначение.


Ашерон

11 тысяч лет назад в наш мир пришел бог. Рожденный в человеческом теле, он был обречен на жизнь полную стыда, ненависти и отчаяния. Но сталь, закаленная в пламени ада стала только сильнее.Человеческая смерть Ашерона породила невообразимый ужас, способный уничтожить землю. Насильно возвращенный вновь к жизни, он стал единственным защитником человечества. Но это было не просто. Сотни лет Ашерон сражался за наши жизни, скрывая свое прошлое. И он готов был на все, чтобы оно так и осталось тайной. Пока не появилась женщина, несущая угрозу самому его существованию.


Флатландия. Сферландия

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.


Стратегии решения математических задач

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.


Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.


Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.


Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.


Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.