Золотое сечение. Математический язык красоты - [7]

₂]

Для рациональных чисел соответствующие цепные дроби конечны. Например:

Любое иррациональное число, которое содержит квадратный корень, также может быть выражено в виде цепной дроби. Решение уравнения х² - Ьх - 1 = 0 может быть выражено цепной дробью с периодом Ь.

МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

Мы видели, что золотое сечение является положительным корнем квадратного уравнения. Этот подход был обобщен, что дало возможность определить подобные числа, которые образуют семейство так называемых металлических сечений. Наряду с золотым сечением Ф существуют другие сечения: серебряное, бронзовое, медное… Все они аналогичны Ф в смысле геометрических построений и предела отношений чисел последовательности. Металлические отношения всегда определяются алгебраически как положительные решения квадратных уравнений

х² — px — q = 0,

где р и q — натуральные числа, которые приводят к различным сечениям из семейства металлических сечений. Если взять р = 2 и q = 1, то положительным решением уравнения будет число 1 + √2 = 2,414213562373095048. Оно называется серебряным сечением.

Если взять р = 3 и q = 1,то положительное решение уравнения (3 + √13)/2 = 2,30277563773199464… дает нам бронзовое сечение.

Аналогия между металлическими сечениями, пожалуй, лучше всего видна, когда они выражены в виде цепных дробей. Мы уже знаем, что Ф = [1¯]. Оказывается, серебряное сечение = [2¯], а бронзовое сечение = [3¯].

Используя цепные дроби для нахождения приближенного значения Ф, мы получим следующее выражение:

Мы знаем, что это верно, потому что мы можем записать (6) в виде:

Таким образом, мы нашли еще два способа выражения Ф(5) и (6). В настоящее время простота компьютерных расчетов снизила важность этих способов, но на протяжении долгого времени эти подходы всегда упоминались в классической литературе. Даже сегодня эти методы хороши для умственной разминки и требуют лишь карманного калькулятора.

Последовательность Фибоначчи

История математики полна неожиданностей. Одна из них касается золотого сечения, известного еще с древних времен и тесно связанного с геометрией. Однако спустя столетия это соотношение было найдено в ряде дробей, возникших из чисто арифметической последовательности. Гением, нашедшим эту связь между геометрией и арифметикой, был один из самых выдающихся математиков средневековья Леонардо Пизанский, более известный как Фибоначчи.

Фибоначчи написал труды по геометрии, алгебре и теории чисел, но его самая знаменитая книга посвящена вычислениям. Liber Abaci («Книга абака»), опубликованная в 1202 г., имеет обманчивое название (буквальное значение слова «абак» — «счетная доска»), возможно, намеренно ироничное, потому что в действительности она пытается продемонстрировать преимущества арабских цифр для вычислений перед методами, основанными на применении счётов и римских цифр, которые доминировали в то время в Италии. Книга Фибоначчи положила конец этой практике, но это произошло не сразу. Несмотря на то, что с помощью десятичных чисел проще было делать расчеты, новый метод распространялся не так быстро. Необходимо было преодолеть всякого рода сопротивление, прежде всего со стороны абацистов, счетоводов, которые на протяжении веков использовали счеты. Тем не менее, в конце концов алгористы, сторонники арабских цифр, победили.

ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ — ФИБОНАЧЧИ (1170–1250)

Леонардо Пизанский родился в Пизе около 1170 г. Он более известен под прозвищем «сын Благонамеренного» (по-итальянски figlio di Bonacci).

Тем не менее, это лишь одна из версий происхождения его псевдонима. Не существует никаких доказательств, что он при жизни был известен как Фибоначчи. Ученый пришел в математику из торговли (его отец был купцом с международными связями).

Однако вскоре интерес Фибоначчи к математике вышел далеко за рамки торговли. Деловые поездки в Северную Африку дали ему возможность познакомиться с математическими работами мусульманских ученых, а именно, с индо-арабской системой счисления, заимствованной из Азии. Он сразу понял огромные преимущества этой системы над римскими цифрами. Фибоначчи стал ее убежденным сторонником и начал распространять ее по всей Европе. Именно благодаря прежде всего Фибоначчи западная культура сделала этот важный шаг вперед.

Гравюра 1504 г. из энциклопедии Margarita Philosophies Грегора Рейша иллюстрирует спор между абацистами (справа) и алгористами (слева). Из рисунка видно, что даже через три века после Фибоначчи спор о системах счисления был все еще в разгаре.

Наряду с введением новых символов и методов расчета «Книга абака» была посвящена теории чисел (например, разложению на простые множители и правилам делимости) и содержала первоклассные алгебраические задачи. Конечно, она содержала главы о ведении счетов, о распределении прибыли и убытков, а также об обмене денег. Но самым известным разделом книги является знаменитая задача о размножении кроликов, решение которой известно сегодня как последовательность Фибоначчи.

Задача формулируется следующим образом: «Сколько пар кроликов будет у нас через год, если в январе у нас была одна пара, которая каждый месяц производит на свет другую пару, начиная с марта пара, в свою очередь, производит собственное потомство каждый месяц, начиная со второго месяца».