Золотое сечение. Математический язык красоты - [5]

Фрагмент фрески «Афинская школа» работы Рафаэля. Художник изобразил Евклида с лицом архитектора Браманте и с циркулем в руке.

«Начала» состоят из 13 книг. Первые шесть посвящены элементарной геометрии, книги с седьмой по десятую — вопросам чисел, а с одиннадцатой по тринадцатую — стереометрии. Шестая книга содержит текст, с которого началась история золотого сечения:

«Разделить прямую линию в крайнем и среднем отношении значит разделить ее на два таких отрезка, чтобы отношение всей линии к большему отрезку равнялось отношению большего отрезка к меньшему».

Или, выражаясь более кратко: «Целое относится к большей части, как большая часть к меньшей». (Первый английский перевод работ Евклида был сделан в 1570 г. Генри Биллингсли, ставшим вскоре лорд-мэром Лондона.)

Крайнее и среднее отношение, которое прозвучало так ненавязчиво, что его нетрудно упустить из вида, является тем самым числом, которое впоследствии стало известно как золотое сечение и которому в 1509 г. Лука Пачоли посвятил целый трактат под названием «О божественной пропорции». Современное обозначение золотого сечения фи, Ф, появилось значительно позже, в начале XX века, когда американец Марк Барр предложил использовать первую букву имени Фидий, архитектора Парфенона в Афинах.

Теперь, когда мы рассказали историю золотого сечения и определили его как иррациональное число, мы можем наконец начать изучение его математических свойств. Прежде всего, посчитаем значение числа Ф.

Разделим отрезок на две части, тогда он будет разделен в крайнем и среднем отношении в терминах Евклида, иначе говоря, в «золотом» отношении, если x/1 = (1/x-1)

Если дроби равны, то равны и соответствующие произведения по правилу «крест-накрест»: a/b = c/d <=> a∙b = b∙c. Это приводит нас к квадратному уравнению:

x∙(x -1) = 1∙1 — > x² — x = 1

которое эквивалентно уравнению х² — х — 1 = 0. (1)

У этого уравнения есть два решения. Нас интересует лишь положительное:

x = (1 + √5)/2 =~ 1,618

Это и есть искомое число, которое мы обозначим Ф:

Ф = (1 + √5)/2 =~ 1,618

Так как решение уравнения (1) является отношением между длинами частей отрезка, оно не зависит от длины самого отрезка. Другими словами, значение золотого сечения не зависит от первоначальной длины.

Так как выражение содержит квадратный корень, число Ф будет иррациональным числом. Это значит, что мы не можем записать его в виде конечного десятичного числа. Более того, бесконечная строка десятичных знаков не содержит периодически повторяющихся групп цифр. Число Ф, таким образом, является непериодическим десятичным числом, которое невозможно вычислить до конца. Более точное вычисление числа Ф не имеет смысла, потому что оно особенно важно в геометрическом виде, а не в числовом. Достаточно сказать, что Ф = 1,618033988749894, потому что 15 знаков после запятой вполне достаточно для любых возможных расчетов.

Теперь возьмем калькулятор и сделаем несколько простых расчетов, взяв приближенное значение Ф с точностью до пяти десятичных знаков: Ф = 1,61803.

Сначала разделим единицу на Ф. Что мы получим? Число 0,61803; те же самые десятичные знаки после запятой. Оказывается, что 1/Ф = Ф — 1.

БОЛЕЕ ТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ Ф

Для любителей точности мы приводим значение золотого сечения с 99 знаками после запятой!

1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818902449707207204189391137484754088075386891752

12663386222353693179318006076672635443338908659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104321626954

86262963136144381497587012203408058879544547492461856953648644492410443207713449470495658467885098743394422125448770664780

9158846074998871240076521705751797883416625624940758906970400028121042762177111777805315317141011704666599146697987317613

560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102

838312683303724292675263116533924731671112115881863851331620384005222165791286675294654906811317159934323597349498509040

947621322298101726107059611645629909816290555208524790352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222

480939471234145170223735805772786160086883829523045926478780178899219902707769038953219681986151437803149974110692608867

4296226757560523172777520353613936.

Теперь давайте возведем наше число в квадрат (Ф²). С учетом приближенного значения получаем, что Ф² = Ф + 1. Является ли это просто случайностью? Мы сейчас покажем, что это вовсе не совпадение.

Основные свойства золотого сечения

Для начала вспомним, что Ф является решением уравнения:

х² — х — 1 = 0. (1)

Мы только что проверили это с приближенным значением, показав, что

Ф² — Ф — 1 = () => Ф² = Ф + 1. (2)

Начиная с уравнения (2), несколько раз умножим обе части на Ф и получим:

Ф³ = Ф² + Ф

Ф⁴ = Ф³ + Ф²

Ф⁵ = Ф⁴ + Ф³

….

Мы видим, что любая степень Ф равна сумме двух предыдущих степеней. В результате, имея значения Ф и Ф², нам не нужно выполнять операции умножения для получения других степеней Ф, достаточно сложить две последовательных степени, чтобы получить следующую.

Аналогично, используя выражения (2) и (3), мы можем найти другие соотношения между степенями Ф, которые содержат только само значение Ф и натуральные числа.