Золотое сечение. Математический язык красоты - [6]

Ф³ = Ф² + Ф = Ф + 1 + Ф = 2Ф + 1

Ф⁴ = Ф³ + Ф² =(2Ф + 1) + (Ф + 1) = 3Ф + 2

Ф⁵ = Ф⁴ + Ф³ = (3Ф + 2) + (2Ф +1) = 5Ф + 3

Ф⁶ = Ф⁵ + Ф⁴ = 8Ф + 5

Ф⁷ = Ф⁶ + Ф⁵ = 13Ф + 8

Ф⁸= Ф⁷ + Ф⁶ = 21Ф +13

(4)

Мы видим, что для получения любой степени Ф достаточно умножить число Ф на сумму двух натуральных чисел из выражения для предыдущей степени Ф, а затем добавить коэффициент при Ф из предыдущего выражения. (Коэффициент — это множитель в математическом выражении.) Например, в выражении для Ф⁶ число 8, коэффициент при Ф, является суммой 5 и 3, которые содержатся в выражении для Ф⁵, а слагаемое 5 является коэффициентом при Ф для той же степени Ф⁵.

Запомним эти свойства, выражаемые формулами (3) и (4), они нам потребуются, когда мы будем использовать последовательность Фибоначчи для получения приближенного значения Ф. Но более подробно об этом будет рассказано позже. Левая часть выражения (3) также показывает, что мы можем построить геометрическую прогрессию из Ф, складывая его две последовательных степени.

Вычислим теперь значение 1/Ф, чтобы проверить, случаен ли был результат, который мы получили с приближенным значением Ф. Начнем с выражения (2), определяющего Ф:

Ф² = Ф + 1

Ф² — Ф = 1.

Разделим все члены этого уравнения на Ф:

(Ф² — Ф)/Ф = 1/Ф

Ф — 1 = 1/Ф

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА

Числа, которые являются решением полиномиального уравнения (содержащего более двух членов) с целочисленными коэффициентами, называются алгебраическими числами. Примерами алгебраических чисел являются √2, решение уравнения х² — 2 = 0, и золотое сечение, Ф, решение уравнения х² — х — 1 = 0.

Числа, которые не являются решением полиномиального уравнения — т. е. не алгебраические — называются трансцендентными числами. Так как существует бесконечное число полиномиальных уравнений, можно подумать, что почти все числа являются алгебраическими. Но это не так трансцендентных чисел намного больше, чем алгебраических.

Доказать, что число трансцендентное, не так просто, так как существует бесконечное число уравнений, все их невозможно перебрать для доказательства. Невозможно предъявить решения каждого уравнения! Два самых известных трансцендентных числа — это е и π. Трансцендентность первого была доказана французским математиком Шарлем Эрмитом в 1873 г. И хотя это было известно много веков назад, лишь в 1882 г. немецким математиком Фердинандом фон Линдеманом было представлено доказательство трансцендентности числа тт.

Это удивительное свойство открывает нам новые возможности. С помощью этого простого упражнения мы видим, что число Ф, несмотря на свое скромное определение, ведет нас к замечательным открытиям. Оно появляется в самых различных областях математики, а также имеет далеко идущие свойства.

Проиллюстрируем это, найдя значение следующей последовательности квадратных корней:

Добавляя по одному корню из единицы, мы получим последовательность приближенных значений числа А.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Для математика термин «последовательность» означает неограниченный набор упорядоченных чисел, построенный по определенному правилу. Члены последовательности обычно обозначаются буквой с нижним индексом, который указывает на занимаемое в последовательности место: a₁, а₂, a₃…, а_n… = {а_n}.

Два примера последовательностей: четные числа {2, 4, 6, 8, 10,…} = {2n}, и квадраты чисел {1, 4, 9, 16, 25…} = {n²}. Другим примером являются геометрические прогрессии, в которых каждый член равен предыдущему, умноженному на постоянное число, называемое знаменателем профессии. Иными словами, отношение двух последовательных членов является числом постоянным. Многие последовательности имеют выражение, которое позволяет нам найти значение каждого члена в зависимости от позиции, которую он занимает. Зная этот общий член, мы можем определить последовательность и найти все ее члены. В случае геометрической прогрессии, где первый член а₁ и знаменатель г, общий член выражается как а_n = а₁∙r^n-1. Последовательность можно определить также с помощью так называемого рекуррентного соотношения, которое позволяет получить значение члена последовательности, зная предыдущие члены. Конечно, удобнее работать с общим членом, но записать для каждой последовательности формулу общего члена не всегда возможно или не так просто.

Далее, даже при добавлении дополнительных членов, результаты будут колебаться около значения 1,618, что, по сути, является значением Ф. Снова мы совершенно неожиданно нашли новый способ получения приближенного значения Ф. Хотя мы должны это доказать.

Возводя выражение (5) в квадрат, получим:

Это равносильно уравнению А² — А — 1 = 0

Это же самое уравнение определяет Ф. Следовательно, мы нашли еще один способ выразить значение золотого сечения:

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

На протяжении долгого времени самым распространенным способом нахождения приближенного значения были цепные дроби: выражения следующего вида, в которых значения а₁ являются целыми числами:

Для удобства обозначения цепные дроби, как правило, записываются в виде [а₁, а₂, а₃, а₄….], если числа а₁ и а₂ периодически повторяются, то дробь записывается как [a₁, а