Золотое сечение. Математический язык красоты - [8]
Для решения этой задачи Фибоначчи, как истинный бизнесмен, составил таблицу. В ней он записал рост популяции кроликов и подсчитал в столбце «Итого» число пар в конце каждого месяца. Беглый взгляд на этот столбец показывает странную закономерность в последовательности: каждое число является суммой двух предыдущих.
Числа в столбце «Итого» образуют так называемую последовательность Фибоначчи, согласно рекуррентному соотношению:
а>1 = 1; а>2 = 1; а>n = а>n-1 + а>n->2(n >= 2).
Теперь посмотрим на связь между этой последовательностью и золотым сечением. Вспомним выражения (4) для степеней Ф на стр. 26, запишем их здесь в окончательной форме:
Ф>3 = 2Ф +1
Ф>4 = 3Ф + 2
Ф>5 = 5Ф + 3
ф>6 = 8Ф + 5
Ф>7 = 13Ф + 8
Ф>8 = 21Ф + 13
Если мы обратим внимание на коэффициенты в правых частях этих выражений, то увидим, что они являются последовательными членами последовательности Фибоначчи. Мы используем это для выражения n-й степени золотого сечения, где а>n является n-м членом последовательности Фибоначчи:
Ф>n = а>n∙Ф + а>n-1
Теперь рассмотрим некоторые другие связи между этими двумя понятиями. Воспользуемся калькулятором, чтобы найти отношения соседних чисел в последовательности Фибоначчи: а>n/а>n-1. Первые несколько результатов имеют мало общего с Ф, но мы продолжим вычисления. Что мы видим? Ответы вдруг начинают приближаться к значению Ф. В следующей таблице видно, что, начиная с десятого члена, каждое частное отличается от предыдущего менее чем на 0,001.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Мы говорим, что число А является пределом последовательности {а>n}, если члены последовательности сходятся к А — то есть для достаточно большого номера n все следующие члены последовательности а>n приближаются к одному и тому же числу.
Например, последовательность {1/n} имеет предел 0.
(Дробь 1/n с ростом n все более приближается к 0.)
Последовательность {2n/(n+1)} имеет предел 2. Однако не все последовательности имеют пределы.
Таким образом, для нахождения приближенного значения Ф нет необходимости извлекать квадратные корни, достаточно просто делить друг на друга члены последовательности Фибоначчи.
Как всегда в случае с золотым сечением, все эти доказательства указывают на определенный общий результат: предел отношений членов последовательности Фибоначчи равен Ф.
Докажем это. Допустим сначала, что предел отношений членов последовательности Фибоначчи, а именно предел последовательности а>n+1/а>n равен некоторому числу L. Запишем это следующим образом:
(Напомним, что а>n+1 = a>n + a>n-1.)
Число L описывается тем же уравнением, что и Ф, поэтому L и Ф должны иметь одинаковое значение. Таким образом, золотое сечение является пределом последовательности отношений чисел Фибоначчи.
Последовательность Фибоначчи начинается с двух единиц. Если вместо этого мы начнем последовательность с любых других равных чисел и построим остальные члены по тому же правилу (каждое число является суммой двух предыдущих), то предел отношений членов такой последовательности всегда будет равен Ф. Заметим, что в приведенном выше доказательстве мы использовали только это условие:
а>n+1 = a>n + a>n-1
Удивительные числа
Как мы видели, последовательность Фибоначчи позволяет найти приближенное значение числа Ф с любой точностью, вычисляя отношения ее членов. Однако последовательность имеет гораздо больше применений, чем предсказание роста численности популяции кроликов, и она неожиданно появляется в работах других математических гениев. Давайте рассмотрим некоторые из замечательных свойств последовательности Фибоначчи.
Сумма членов последовательности Фибоначчи
Если выбрать любые 10 соседних чисел из последовательности Фибоначчи и сложить их вместе, всегда получится число, кратное 11. Например, общая сумма первых 10 членов равна:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = 11∙13.
То же самое справедливо и для:
21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 4 147 = 11∙377.
Но это еще не все. Каждая сумма равна числу И, умноженному на седьмой член взятой подпоследовательности: 13 в первом случае и 377 во втором.
А вот еще один сюрприз. Для любого n сумма первых n членов последовательности всегда будет равна разности (n + 2)-го и первого члена последовательности. Мы видим это в случае первых десяти членов, сумма которых равна 143. Это и есть разность двенадцатого члена (144) и первого (1). В случае первых 17 членов общая сумма составляет 4180, что равно девятнадцатому члену а>19 (4181) минус 1.
Этот факт выражается следующей формулой:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а>n = а>n+2 — 1.
Мы можем использовать этот факт для нахождения суммы любого количества последовательных членов, что для непосвященных выглядит как магия. Например, выберем любые два числа, скажем, 25 и 40, и подставим их в нашу формулу вместо n:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а>40 = а>42 — 1.
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а>25 = а>27 — 1.
Чтобы посчитать сумму всех членов между а>25 и а>40 (от а>26 до а>40 включительно), мы просто найдем разность между этими двумя выражениями:
a>26 + … + a>40 = a>42 — a>27.
Теперь в нашем распоряжении имеется следующий трюк: чтобы найти сумму всех членов последовательности между двумя данными членами (не включая первый, но включая второй член), достаточно найти разность соответствующих (
