Занимательная математика - [9]
Вероятность случайного события
— Ты начинаешь убеждать меня, — вздохнул Сэм. — Может быть, нам лучше перейти к бросанию монеты или чему-нибудь в том же духе?
— По правде говоря, я не собирался заходить так далеко, но ты напомнил мне одну интересную историю. Когда я учился на последнем курсе в колледже, нам пришлось прослушать один дурацкий курс, который не дал ровно ничего нашему образованию. Должно быть, этот курс был включен в программу в незапамятные времена, и о нем просто- напросто забыли. Лектор чувствовал себя очень неловко и всячески давал нам понять, что ему очень неловко попусту тратить наше время. В утешение в начале семестра он сообщил нам, что поставит всем только отличные и хорошие оценки, поэтому нам следует беспокоиться не об успеваемости, а только о напрасно потраченном времени.
Лектор был человеком, помешанным на честности, и когда ему в конце семестра пришлось выставлять оценки, не обошлось без небольшой проблемы. Дело в том, что он всем собирался поставить только хорошие и отличные оценки, распределив их среди студентов случайным образом: каждый, прослушавший курс, мог с вероятностью 1/2 получить оценку «отлично» и с такой же вероятностью — оценку «хорошо».
Наш лектор намеревался пройтись по списку студентов и, останавливаясь на каждой фамилии, бросать монетку: орел означал бы «отлично», а решка — оценку «хорошо». Но прежде чем он приступил к бросанию монеты, его пронзила ужасная мысль: что если монета слегка несимметрична? Ведь тогда вероятности выпадения орла и решки окажутся смещенными, и оценки будут распределяться нечестно!
Проблема, с которой столкнулся наш лектор, состояла в следующем: если монета несимметрична, то можно ли случайным образом распределить оценки среди студентов, прослушавших курс, так, чтобы каждый из них с одинаковой вероятностью мог получить и отличную, и хорошую оценку?
Сэм-старший издал короткий смешок и заметил:
— Я всегда знал, что оценки ставятся наобум, но не думал, что кому-нибудь понадобится исключать эффект возможной асимметрии монеты. Все же, как мне кажется, я знаю, что нужно сделать. Что если лектор станет бросать монету дважды? Разве не верно, что независимо от смещения вероятность выпадения сначала орла, а потом решки в точности равна вероятности выпадения сначала решки, а потом орла?
Сэм-младший тоже рассмеялся:
— Что верно, то верно! А если оба бросания завершатся одинаковыми исходами, то их нужно просто исключить и бросать монетку снова два раза подряд. В зачет идут только те бросания, при которых сначала выпадает орел, а потом решка, или сначала решка, а потом орел. Тогда лектор выставляет оценку «отлично», если первым выпадает орел, и «хорошо», если первой выпадает решка.
— Причина, по которой такая тактика дает правильный результат, очень любопытна, — продолжал Сэм-младший, — и я хотел бы пояснить, в чем тут дело.
Путь >р — вероятность выпадения орла при первом или втором бросании. Тогда вероятность выпадения решки равна >1 — р. Следовательно, вероятность выпадения в первом бросании орла, а во втором решки равна произведению >р и >1 — р, т. е. >р(1 — р).
Точно так же вероятность выпадения при первом бросании решки, а при втором орла равна >(р — 1)р.
Но так как умножение обыкновенных чисел коммутативно, т. е. произведение не зависит от порядка сомножителей, оба произведения равны:
>р(1 — р) = (1 — р)р
Поэтому твой ответ правилен.
Бросание монет
Сэм-старший улыбнулся и сказал:
— Я знал, что когда дело дойдет до денег, я смогу показать тебе, что разбираюсь в своем деле.
— Никогда в этом не сомневался, — заверил отца Сэм-младший. — Я только хотел обратить твое внимание на некоторые тонкости в простейших понятиях теории вероятностей. В том деле, которым ты занимаешься, приходится думать не только о вероятностях, но и о многом другом, например основательно разбираться в теории игр: ведь то, что ты делаешь, по существу сводится к разработке стратегий.
— Ничего подобного! — запротестовал Сэм-старший. — Просто у меня большой опыт в тех делах, которыми я занимаюсь, только и всего.
— Никто не спорит и не ставит под сомнение, что ты можешь действовать интуитивно. Но твои приемы есть не что иное как методы теории игр. Если не возражаешь, я попытаюсь продемонстрировать это на очень простом примере.
Предположим, что мы играем с тобой в нехитрую игру. Каждый из нас бросает свою монету. Если обе монеты выпадают вверх орлами или вверх решками, то выигрываешь ты. Если монеты выпадают по-разному, одна вверх орлом, другая вверх решкой, то выигрываю я, причем безразлично, чья именно монета выпадает вверх орлом, а чья — вверх решкой. А теперь сделаем игру более интересной.
Если выигрываешь ты, то я плачу тебе 9 пенсов за два орла и 1 пенс за две решки. Если же выигрываю я, то при любом раскладе, т. е. независимо от того, выпадает ли комбинация «орел-решка» или «решка- орел», ты платишь мне 5 центов.
Перед игрой и даже во время игры ты можешь как угодно менять свои монеты на фальшивые.
Как видишь, все сказанное делает игру с бросанием монет гораздо интереснее. Она позволяет выработать удобную стратегию. Поскольку наибольший выигрыш тебе сулит выпадение комбинации «орел-орел», ты можешь предпочесть заменить свои монеты такими, которые чаще выпадают вверх орлом. Но поскольку мне об этом известно, я могу пойти на замену своих монет такими, которые чаще выпадают вверх решкой, так как я выигрываю при выпадении комбинаций «орел-решка» и «решка-орел».
В данную книгу включены два научно-популярных произведения известного американского физика и популяризатора науки — повесть «Мистер Томпкинс в Стране Чудес», не без юмора повествующая о приключениях скромного банковского служащего в удивительном мире теории относительности, и повесть «Мистер Томпкинс исследует атом», в живой и непринужденной форме знакомящая читателя с процессами, происходящими внутри атома и атомного ядра. Книга предназначена для школьников, студентов и всех, кто интересуется современными научными представлениями.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
В книге, одним из авторов которой является известный американский физик Г. Гамов, в доступной и увлекательной форме рассказывается о достижениях на стыке физики и биологии. Данная книга рассчитана на учащихся старших классов и студентов начальных курсов университетов самых разных специальностей.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.