Занимательная математика - [15]

— Но так было бы только в том случае, если бы оба поезда в точности «перекрылись», т. е. одновременно въезжали на переезд и одновременно покидали его. В другом предельном случае ситуация была совершенно другой. Представьте себе, что локомотив одного въезжает на переезд в тот самый момент, когда его покидает тормозная площадка последнего вагона другого поезда. Что тогда?

— Ничего особенного. Мне кажется, этот случай ничем не отличается от того, когда оба поезда вообще не перекрываются.

— О нет! Тут вы, мистер Джонсон, глубоко заблуждаетесь. Я могу доказать это вам с помощью нехитрой арифметики. Предположим, что в среднем в каждом направлении за один час проходит один поезд и что каждый поезд минует переезд за 6 минут, и вычислим, сколько приходится ждать автомобилисту у закрытого шлагбаума в этом случае. Вероятность прибыть к закрытому шлагбаума (во время прохождения поезда через переезд) и любоваться мерцающими красными фонарями равна 1/10. Поскольку автомобилист с равной вероятностью может прибыть к переезду, когда поезд только выезжает на переезд или покидает его, то среднее время ожидания у закрытого шлагбаума составляет 3 минуты. Таким образом, в этом случае ждать в среднем, пока поезд минует переезд, придется 3 минуты.

Предположим теперь, что встречные поезда всегда немного перекрываются, минуя переезд — локомотив одного поезда чуть-чуть заходит за тормозную площадку последнего вагона другого. Как нетрудно понять, в этом случае все происходит так, как если бы поездов было вдвое меньше, но каждый поезд стал бы вдвое длиннее.

— Какая разница? — возразил мистер Джонсон.

— Разница есть, причем большая! Разумеется, вероятность подъехать к закрытому шлагбауму на переезде остается прежней. Но ждать у закрытого шлагбаума в этом случае пришлось бы вдвое дольше.

Таким образом, подъехав к переезду и увидев, что встречные поезда перекрылись только локомотивами, автомобилист вынужден будет ждать вдвое дольше.

— Понимаю, — задумчиво проговорил старый машинист, — если бы между поездами был промежуток в несколько минут, то автомобилист, пропустив один поезд, мог бы миновать переезд до того, как другой поезд прибудет к переезду, а если поезда перекрываются, то никакого промежутка между ними не получается.

— Рад, что вы обратили внимание на это важное обстоятельство, — улыбнулся врач. — Итак, мы пришли к заключению, что в случае точного перекрытия встречных поездов среднее время ожидания у переезда сокращается вдвое, а если поезда едва перекрываются, то время ожидания удваивается.

— А что происходит, если поезда на переезде перекрываются ровно наполовину? — поинтересовался мистер Джонсон.

— Давайте выясним. В этом случае поездов становится как будто вдвое меньше, но длина каждого поезда увеличивается на50 %, т. е. поезд как бы становится в полтора раза длиннее. В этом случае вероятность подъехать к переезду, когда через него проходит поезд, нужно умножить на1,5 / 2, а среднее время ожидания увеличивается в полтора раза. Итого: среднее время ожидания изменится в 1,5 / 2 * 1,5 = 1,125 раза. Таким образом, если встречные поезда на переезде перекрываются наполовину, то время ожидания увеличивается на12,5 %.

— Подумать только! — с удивлением заметил мистер Джонсон. — Даже когда поезда перекрываются наполовину, автомобилисту приходится ждать дольше.

— Как видите, мистер Джонсон, время ожидания существенно зависит от того, насколько перекрываются встречные поезда на переезде. Давайте построим график, ведь теперь мы знаем, во сколько увеличивается время ожидания при полном перекрытии поездов, при их перекрытии наполовину и при едва начавшемся перекрытии, — предложил врач, доставая карандаш. — Как видите, полная площадь, соответствующая увеличению среднего времени ожидания (треугольник А), гораздо больше, чем полная площадь, соответствующая уменьшению среднего времени ожидания (треугольник В). Отсюда следует, что в среднем перекрытие встречных поездов заставляет автомобилистов ждать у переезда дольше, чем в том случае, когда одно и то же количество поездов курсирует по одноколейному пути в обоих направлениях.

Шмель

— А еще какие-нибудь задачи про поезда вы знаете? — немного помолчав, спросил старый машинист.

— Знаю еще одну, только она очень простая. Два поезда выходят одновременно навстречу другу друга со станций А и B, разделяемых расстоянием в 100 миль[7]. Каждый из поездов движется со скоростью 50 миль/ч. Вместе с поездами со станции А по направлению к станции В вдоль железной дороги вылетает шмель, развивающий в полете скорость 70 миль/ч. Долетев до поезда, идущего со станции B, шмель в испуге поворачивает назад и летит к станции А, пока не встретит поезд, идущий к станции B, и т. д. Так он летает туда и обратно между сближающимися поездами. Когда же те, наконец, встречаются, шмель при виде мчащихся с двух сторон железных чудовищ пугается настолько, что замертво падает на землю.

Спрашивается, какое расстояние успевает пролететь шмель?

— Сейчас узнаем, — пробормотал себе под нос мистер Джонсон. — Задачка, действительно, не очень трудная. Если два поезда движутся навстречу друг другу со скоростью 50 миль/ч каждый и отправляются одновременно со станций, расположенных в 100 милях одна от другой, то поезда должны встретиться через час после отправления посередине пути. С какой скоростью, вы говорили, летел шмель?