Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел] - [6]
1. Семиклассник-репетитор готов был решать задачу, с иксом и игреком", будучи уверен, что задача — "собственно говоря, алгебраическая". И он, надо думать, легко справился бы с ней, прибегнув к помощи системы уравнений (только не неопределенных, как ему казалось). Составить два уравнения с двумя неизвестными для данной задачи очень нетрудно; вот они:
х + у = 138; 5х + 3у = 540,
где х — число аршин синего, а у — черного сукна.
2. Однако задача легко решается и арифметически. Если бы вам пришлось решать ее, вы начали бы с предположения, что все купленное сукно было синее, тогда за партию в 138 аршин синего сукна пришлось бы уплатить 5 х 138 = 690 руб.; это на 690 – 540 = 150 руб. больше того, что было заплачено в действительности[9]. Разница в 150 руб. указывает, что в партии имелось и более дешевое, черное сукно — по 3 руб. аршин. Дешевого сукна было столько, что из двух рублей разницы на каждом аршине составилось 150 руб.: очевидно, число аршин черного сукна определится, если разделить 150 на 2. Получаем ответ — 75; вычтя эти 75 аршин из общего числа 138 аршин, узнаем, сколько было синего сукна: 138 — 75 = 63. Так и должен был решать задачу Петя.
3. На очереди третий вопрос: как решил задачу Удодов-старший?
В рассказе говорится очень кратко: "Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было".
В чем, однако, состояло это "щелканье на счетах"?
Каков способ решения задачи с помощью счетов?
Разгадка такова: злополучная задача решается на счетах тем же приемом, что и на бумаге, — теми же арифметическими действиями. Но выполнение их упрощается благодаря преимуществам, которые наши русские счеты предоставляют всякому, умеющему с ними обращаться. Очевидно, "отставной губернский секретарь" Удодов хорошо умел считать на счетах, потому что их косточки быстро, без помощи алгебры, открыли ему то, чего репетитор-семиклассник добивался узнать "с иксом и игреком". Проследим же, какие действия должен был проделать на счетах Петин отец.
Прежде всего ему нужно было, как мы знаем, умножить 138 на 5. Для этого он, по правилам действий на счетах, умножил сначала 138 на 10, то-есть просто перенес 138 одним рядом выше, а затем разделил это число пополам опять-таки на счетах же. Деление начинают снизу: откидывают половину косточек, отложенных на каждой проволоке; если число косточек на данной проволоке нечетное, то выходят из затруднения, "раздробляя" одну косточку этой проволоки на 10 нижних.
Чтобы умножить 138 на 5 при помощи конторских счетов, поступают так: сначала на счетах откладывают 138; затем простым переносом отложенных косточек на один ряд вверх число 138 множится на 10; после этого его делят на 2 (десятки уже разделены), и таким образом получают результат 138 х 5.
В нашем, например, случае делят 1380 пополам так: на нижней проволоке, где отложено 8 косточек, откидывают 4 косточки (4 десятка), на средней проволоке из 3 косточек откидывают 1, а из оставшихся 2 косточек 1 заменяют мысленно 10 нижними и делят пополам, добавляя 5 десятков к косточкам нижней; на верхней проволоке раздробляют 1 косточку, прибавляя 5 сотен к косточкам средней проволоки. В результате на верхней проволоке совсем не остается косточек; на средней 1 + 5 = 6 сотен, на нижней 4 + 5 = 9 десятков. Итого 690 единиц. Выполняется все это быстро, автоматически.
Далее Удодову-старшему нужно было из 690 вычесть 540. Как проделывается это на счетах, всем известно.
Наконец полученную разность, 150, оставалось разделить пополам: Удодов откинул из 5 косточек (десятков) 3, отдав 5 единиц нижнему ряду косточек; потом из 1 косточки на проволоке сотен отдал 5 десятков нижнему ряду: получилось 7 десятков и 5 единиц, то-есть 75.
Все эти простые действия выполняются на счетах, конечно, гораздо скорее, чем тут описано.
Есть много полезных вещей, которых мы не ценим только потому, что, находясь постоянно у нас под руками, они превратились в слишком обыденный предмет домашнего обихода. К числу таких недостаточно ценимых вещей принадлежат и наши конторские счеты — русская народная счетная машина, представляющая собой видоизменение знаменитого абака, или "счетной доски", наших отдаленных предков.
"Саламинская доска" — древнегреческий абак на мраморной доске размером 150х75 см, найденный на острове Саламин в 1948 году. Левые колонки служили для отсчета драхм и талантов; правые — для долей драхмы: оболов и халков. На абаке отложено: 4873 драхмы 2 обола 5 халков.
Древнегреческий сборщик податей, считающий на абаке (с античной вазы в Неаполе). Абак не имеет колонок, и камешки кладутся прямо против букв, обозначающих разряды: на нем выложены 1231 драхма 4 обола.
Древние народы — египтяне, греки, римляне — употребляли при вычислениях счетный прибор абак. Это была доска (стол), разграфленная на полосы, по которым передвигали особые шашки, игравшие роль косточек наших счетов. Такой вид имел греческий абак. Абак римский имел форму медной доски с желобами (прорезами), в которых передвигались пуговки.
Римский абак представлял собой бронзовую доску с пазами, в которых ходили круглые бронзовые пуговки. Пуговки нижнего ряда (по четыре в каждом пазу), сдвинутые к середине, означали единицы своего разряда; сдвинутые пуговки верхнего ряда (по одной в каждом пазу) означали пятки; пуговки в двух крайних пазах справа служили для отсчета дробей: в левом пазу откладывались
