Введение в логику и научный метод - [37]

«Одну минутку!» – может возразить читатель. «Частично инверсивным суждением для суждения «все физики являются математиками» является суждение «некоторые не-физики не являются математиками». В первом суждении предикат нераспределен, тогда как во втором – распределен. Как же можно утверждать, что второе суждение является обоснованным следствием первого? Нет ли здесь нарушения принципа о распределенности терминов?»

Если читатель усвоил наше обсуждение вопроса об экзистенциальной нагруженности суждений, то он без труда сможет ответить на свой вопрос. В общем суждении, скажет он, не утверждается ничего о существовании или несуществовании чего-либо; частные суждения, с другой стороны, обладают экзистенциальной нагруженностью. Следовательно, частное суждение может обоснованно выводиться из общего суждения или их сочетания, только если среди посылок есть суждение, утверждающее, что классы, обозначаемые терминами общих суждений, содержат, по крайней мере, один член. В частности, обращение суждения типа А является обоснованным, только если предикат обозначает такой непустой класс.

Источник сложностей с инверсией теперь прояснен. Чтобы получить инверсивное суждение из суждения «все физики – математики», нам нужно обратить суждение «все не-математики являются не-физиками». Это возможно, только если мы добавим третью посылку: «Некоторые люди являются не-физиками». Если такая посылка имеется, то частично инверсивное суждение не нарушает принципа распределенности терминов.

Если бы общие суждения обладали экзистенциальной нагруженностью, то тогда не только термины подобных суждений обозначали бы непустые классы, но их обозначали бы и противоречивые термины. Так, если бы суждение «все люди смертны» требовало наличия людей и смертных существ, то, поскольку из него мы можем обоснованно вывести суждение «все бессмертные являются не-людьми», нам бы пришлось утверждать и то, что существуют сущности, являющиеся бессмертными, и сущности, являющиеся не-людьми. Следующий пример призван продемонстрировать, что общие суждения не имеют экзистенциальной нагруженности даже в обычной разговорной речи. Студенты-математики знакомы с древнегреческой проблемой, заключающейся в том, что построить с помощью линейки и циркуля квадрат, площадь которого будет равна площади окружности, невозможно. Следовательно, мы можем с уверенностью утверждать суждение «ни один математик не построил круг, одинаковый по площади с квадратом». Частично инверсивным суждением относительно данного будет суждение «некоторые не-математики являются построившими круг, одинаковый по площади с квадратом». Однако мы, несомненно, не намеревались утверждать что-либо, приводящее к заключению о том, что существуют люди, которые на самом деле могут построить такой круг, поскольку существует доказательство, согласно которому подобное не может быть сделано. Следовательно, в исходном суждении не предполагалось утверждения существования таких людей.

Умозаключение посредством обратного отношения

Из суждения «Чикаго расположен к западу от Нью-Йорка» можно обоснованно вывести суждение «Нью-Йорк расположен к востоку от Чикаго», из суждения «Сократ был учителем Платона» – суждение «Платон был учеником Сократа», из «семь больше пяти» – «пять меньше семи». Каждая из приведенных пар суждений представляет два эквивалентных суждения. Такие умозаключения имеют следующую форму: если а находится к Ь в определенном отношении, Ь находится к а в обратном отношении.

Эквивалентность сложных суждений

На данном этапе нам предстоит изучить, что такое эквивалентные формы сложных суждений.

Рассмотрим условное суждение «если треугольник – равнобедренный, то углы у его основания равны». Утверждать это суждение, как мы уже знаем, означает утверждать, что истинность антецедента предполагает истинность консеквента, или что не может быть такого, чтобы антецедент был истинным, а консеквент – ложным. Следовательно, в данном условном суждении утверждается, что конъюнктивное суждение «треугольник является равнобедренным, и углы при его основании неравны» ложно. Или же, что строго дизъюнктивное суждение «неверно, что треугольник является равнобедренным и вместе с этим углы у его основания неравны» является истинным. Таким образом, из условного суждения мы можем вывести дизъюнкцию.

Более того, из строгой дизъюнкции мы также можем вывести условное суждение. Если дано суждение «неверно, что треугольник является равносторонним и вместе с этим углы у его основания неравны», то истинность одного дизъюнкта несовместима с истинностью другого: если один дизъюнкт истинен, другой должен быть ложным. Следовательно, из этого строго дизъюнктивного суждения мы можем вывести суждение «если треугольник является равнобедренным, то углы у его основания равны». Таким образом, может быть найдена строгая дизъюнкция, эквивалентная условному суждению.

Сказанное выше можно записать, используя введенные нами символы:

[(Треугольник является равнобедренным) ⊃ (углы у его основания равны)] ≡ [(Треугольник является равнобедренным) .(углы у его основания равны)′′