Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [51]

Из этого упражнения, в частности, следует, что бесконечное множество может заполнить бесконечную гостиницу. Ключевое слово тут – «может».

Например, множество чисел, делящихся на 3, можно разместить в бесконечной гостинице так, что эти числа не займут все номера: нужно просто поселить каждое число в номере, соответствующем его значению.

Остается бесконечное количество свободных номеров.

Но если каждое число, делящееся на 3, поселить в номере, соответствующем одной трети его значения, гостиница окажется полностью заселенной.

Это показывает нам, что множество чисел, делящихся на 3, – множество счетно-бесконечное (потому что, как можно видеть из таблицы, существует биекция между ним и множеством натуральных чисел).

Множество чисел, кратных гуголплексу, также бесконечно и также счетно, как и множество чисел, кратных пухплексу. Попытайтесь представить себе, какое огромное количество чисел придется пройти, прежде чем мы доберемся до пухплекса! После этого нужно будет пройти еще столько же, чтобы достигнуть удвоенного пухплекса! Тем не менее мощность множества чисел, кратных пухплексу, равна мощности множества чисел, кратных 21, а также мощности множества четных чисел и множества натуральных чисел.

Мощность всех этих множеств – ℵ₀.

Хотите – верьте, хотите – нет!

Наши бледные рассуждения скрывают от нас бесконечное.

Джим Моррисон, The Doors

Каникулы алгебраических чисел в отеле Гильберта

Наша экспедиция в гостиницу Гильберта показала, что не всякое множество может в ней разместиться, хотя гостиница и бесконечна. Количество элементов множества всех чисел, заключенных между 0 и 1, оказалось слишком большим, чтобы все они смогли поселиться в гостинице.

Множество этих чисел несчетно-бесконечно, так как между ним и множеством натуральных чисел нет одно-однозначного и сюръективного соответствия. Существуют ли другие множества чисел, бесконечные, но несчетные, то есть такие множества, которые невозможно разместить в бесконечной гостинице?

Интересный пример множества этого типа дает множество неалгебраических чисел, которые мы сейчас определим. Но сначала проясним, что такое алгебраическое число.

Вспомним, что рациональное число – это число q, которое может быть записано в виде отношения двух целых чисел

Можно дать другое, эквивалентное определение: число q – рациональное число тогда, и только тогда, когда оно является решением уравнения «первой степени», а именно уравнения вида

где коэффициенты a и b – целые числа.

Ясно, что любое рациональное число

удовлетворяет равенству

и, следовательно, является решением уравнения первой степени

Например, число

является решением уравнения

Что же такое тогда алгебраическое число?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ЧИСЛА

Число считается алгебраическим, если оно является корнем (то есть решением) уравнения вида:

,

где все коэффициенты a_k – целые числа.

Число, не являющееся алгебраическим, называют «трансцендентным числом».

Левая часть приведенного выше уравнения называется многочленом (или полиномом) n-й степени, если n не равно 0.

Из этого определения немедленно следует, что все рациональные числа относятся к числам алгебраическим. Однако есть и иррациональные алгебраические числа{30}. Вот несколько примеров:

√2 – алгебраическое число, так как является решением уравнения x² − 2 = 0.

Кубический корень из

– алгебраическое число, так как является решением уравнения

– алгебраическое число (но не вещественное число), так как является решением уравнения x² + 1 = 0.

Золотое сечение ϕ – алгебраическое число, так как является решением уравнения x² − x − 1 = 0.

Короче говоря, алгебраические числа «многочисленны», потому что «многочисленны» уравнения с многочленами вида

С учетом этого следующее утверждение может показаться несколько удивительным:

ТЕОРЕМА

Множество алгебраических чисел счетно.

Доказательство. Рассмотрим уравнение

Предположим, что a_n – положительное число. Если это не так, мы можем умножить все уравнение на (–1); получившееся уравнение будет иметь те же корни.

Подобно тому, как мы разбирались с расселением рациональных чисел в гостинице, определим для каждого многочлена «высоту» Н.

Символ |m| обозначает абсолютное значение (или модуль) числа. Если число положительно, его абсолютное значение равно ему самому: | 37 | = 37. Если число отрицательно, абсолютное значение становится положительным: |–234 | = 234.

Теперь мы можем выписать все уравнения (некоторые из которых не имеют решений) в порядке возрастания высоты.

Например, для Н = 1 существует всего один многочлен, и он представляет собой просто 1, то есть не зависит от х, и дает уравнение 1 = 0, не имеющее решений. Это уравнение не имеет смысла и не дает нам никаких алгебраических чисел.

Для Н = 2 мы получаем два уравнения: х = 0 и 2 = 0. Первое дает алгебраическое число 0, а второе снова оказывается бессмысленным и не имеет корней.

Для Н = 3 получаются следующие уравнения: 3 = 0, х – 1 = 0, 2х = 0, х + 1 = 0, и наконец, х² = 0. Первое из этих уравнений не дает алгебраических чисел, а из остальных мы получаем два новых алгебраических числа: 1 и –1.

Я надеюсь, что основная идея понятна.

Дойдя до