Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [50]
Некто осужден на вечные муки в аду. Другой человек проводит вечность в раю. На один день в году они меняются местами: несчастному грешнику позволяют насладиться восхитительной райской прохладой, а радостный обитатель рая пробует на вкус ужасы ада.
Рассуждая с точки зрения математики (то есть расчета кардинальных чисел), есть ли различия в том, как эти двое существуют после смерти?
Если вы считаете, что разница есть, объясните почему.
Если вы считаете, что разницы нет, ответьте на следующий вопрос: где предпочли бы провести вечность вы сами?
Парадокс Галилея – больше не парадокс; он попросту превратился в доказательство бесконечной природы натуральных чисел. Разумеется, можно найти много других подмножеств, равномощных множеству натуральных чисел (то есть имеющих такое же кардинальное число): множество простых чисел, множество четных чисел, множество натуральных чисел, делящихся на 101, множество чисел, точно равных факториалам, – {1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800…} – и так далее.
Мощность бесконечных множеств
Возьмем множество D = {1, 2, 3, 4, 5}. Оно по определению не бесконечно.
Почему? Потому что, если взять из него некое собственное подмножество Е, мы не сможем найти между этими двумя множествами соответствия, которое было бы и одно-однозначным, и сюръективным. Другими словами, мы не сможем разбить все разные элементы множества D и разбить все разные элементы множества на пары.
Как уже было сказано выше, мощность конечного множества попросту равна числу содержащихся в нем элементов. Следовательно, можно написать #A = n.
Но как определить мощность бесконечных множеств? Не можем же мы подсчитать элементы, содержащиеся в бесконечных множествах!
Есть ли вообще мощность у бесконечных множеств?
А если есть, то существуют ли некие мощности бесконечных множеств, большие, чем другие (посещение бесконечной гостиницы дает более чем достаточно оснований предположить, что такое может быть возможно)?
Существует ли «наименьшая» плотность бесконечного множества?
Существует ли «наибольшая» плотность бесконечного множества? «Бесконечна» ли плотность бесконечного множества? Если это так, как нам определить значение такой мощности?
Если вы хотите узнать ответы на эти и другие вопросы, оставайтесь с нами!
В отель Гильберта приезжают счетно-бесконечные множества
Любое конечное множество, очевидно, есть множество счетное. Если начать с первого элемента, перейти к следующему и так далее, то рано или поздно (даже если это множество содержит гуголплекс элементов) вы (или ваши потомки) дойдете до последнего элемента. Бесконечное множество называют «счетно-бесконечным», если оно имеет такую же мощность, как множество натуральных чисел, то есть для него существует одно-однозначное и сюръективное соответствие с множеством натуральных чисел. Другими словами, его элементы можно расположить последовательно, из чего следует, что его элементы можно каким-то образом разместить в отеле Гильберта. Они счетны в том смысле, что мы можем расположить их так, чтобы у нас был первый элемент, затем второй, за ним – третий… и, хотя этот процесс никогда не завершится, мы все же пересчитываем эти элементы! Поэтому такие множества и называются «счетными».
Мы уже видели, что множество целых чисел и множество рациональных чисел можно расселить в бесконечной гостинице Гильберта без каких-либо затруднений. Это означает, что эти два множества, несомненно, относятся к множествам счетным.
Напомню, как именно размещались в гостинице рациональные числа. Как вы помните, мы расположили их в порядке возрастания «высоты», причем «высота» дроби a/b была определена равной h = a + b, а числа с одинаковой высотой располагались в порядке возрастания значения числителя (см. приведенную ниже таблицу). Вполне ясно, что у этих дробей, расположенных в таком порядке, есть инъективное соответствие с натуральными числами.
Давид Гильберт
Эмми Нётер
А вот напоминание о том, как можно разместить в самой шикарной математической гостинице во Вселенной целые числа:
Выше мы обозначили мощность конечного множества символом #A. Однако, поскольку завершить подсчет элементов бесконечного множества невозможно, для его мощности не может существовать никакого значения «n». Следовательно, мощность счетно-бесконечного множества необходимо определить как-то иначе. Кантор обозначил ее символом ℵ>0 (алеф-нуль). Он состоит из буквы «алеф», взятой из еврейского алфавита, с подстрочным индексом 0{29}. Если обозначить буквой N множество натуральных чисел, а буквой Z – множество целых чисел (как положительных, так и отрицательных, а также нуля), то для обоих этих множеств можно написать, что #N = ℵ>0 и #Z = ℵ>0.
Тот факт, что мощность счетно-бесконечного множества обозначается ℵ>0, намекает, что ℵ>0 – вероятно, наименьшая мощность бесконечного множества и что могут существовать и более высокие мощности бесконечных множеств (элементы которых мы все равно не можем пересчитать!). На самом деле так оно и есть.
Докажите, что любое бесконечное множество содержит счетно-бесконечное множество.
