Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [44]

«Тут происходит что-то странное, – подумала Омега. – Что же случится, – задумалась она, постепенно начиная беспокоиться, – если число 1 переселится в номер 10, число 2 – в номер 20, число 3 – в номер 30 и так далее? Заполненность гостиницы упадет до 10 процентов, хотя из нее не выедет ни один из постоянных жильцов! Все натуральные числа по-прежнему будут на месте, и тем не менее уровень заполненности будет таким низким, что меня, того и гляди, уволят!»

Все еще обдумывая эту ужасную мысль, она вспомнила, что через две недели в гостинице должна пройти важная конференция под названием «Положительная рациональность в эпоху рациональной положительности», и все ее участники – то есть все положительные рациональные числа – должны будут провести в гостинице три положительно рациональных дня.

«Мы без труда найдем место для всех, – сказала себе Омега. – Гостиница стоит полупустой, и в ней имеется бесконечное количество свободных номеров».

Однако спокойствие Омеги было недолгим. Внезапно на нее нахлынули тревожные мысли. Омега осознала, что рациональные числа со знаменателем 2 могут полностью занять гостиницу, если дробь 1/2 поселится в номере 1, дробь 2/2 – в номере 2, дробь 3/2 – в номере 3 и так далее. Но в то же время точно таким же образом могут занять всю гостиницу и рациональные числа со знаменателями, равными 3, 4 или любым другим числам: 1/3 – в номере 1, 2/3 – в номере 2, 3/3 – в номере 3… Другими словами, на конференцию приедет бесконечное количество бесконечных множеств, и любое из них может занять всю гостиницу целиком. Не говоря уже о том, что даже до их прибытия гостиницу уже занимает бесконечное количество натуральных чисел (1, 2, 3, 4…).

Администратор попыталась рассмотреть другие возможные варианты: например поселить 1 в номере 1, 2 – в номере 1001, 3 – в номере 2001…, а затем предоставить числу 1/2 номер 2, числу 2/2 – номер 1002, числу 3/2 – номер 2003 и так далее. Однако она быстро поняла, что и этот план не дает решения проблемы (объясните, почему этот вариант не работает).

Поскольку Омеге было неловко еще раз беспокоить Лямбду и Сигму – в их профессиональные обязанности входила уборка номеров, а не советы по стратегическим вопросам, – она решила (поскольку у нее не было особого выбора) обратиться за помощью к главному математику системы Апейрон (в которой находится планета Проксима-Инфинитас) профессору Финкельштейну-Островскому-Канторовичу.

Пожилой, но энергичный профессор заявил, что проблема только кажется сложной, но на самом деле это не так:

– Благодаря человеку по имени Евклид, который жил когда-то на очень отдаленной маленькой голубой планете под названием Земля, эту задачу можно решить сравнительно легко, – сказал профессор с тройной фамилией.

– Что же сделал этот Евклид? – спросила администратор гостиницы.

– Он доказал, что количество простых чисел бесконечно, – ответил профессор.

– И как это поможет нам найти номера для всех постояльцев? – спросила Омега, явно сомневавшаяся в наличии какой бы то ни было связи между бесконечной природой простых чисел и возможностью организовать размещение всех участников конференции.

– Я объясню как можно проще, – пообещал Финкельштейн-Островский-Канторович. – Тот факт, что простых чисел существует бесконечно много, позволяет нам получить весьма простое решение задачи размещения всех рациональных чисел. Вот план наших действий. Мы будем распределять их по номерам, соответствующим простым числам, возведенным в последовательные степени, а именно:

Первое простое число – 2. Мы поселим число 1 в номере 2, а число 2 – в номере 2², число 3 получит номер 2³, число 4 будет жить в номере 2⁴… и так далее. Следующее простое число – 3, – продолжал профессор. – Поэтому дробь 1/2 поселится в номере 3, 2/2 – в номере 3², 3/2 – в номере 3³, 4/2 – в номере 3⁴ и так далее.

– Но ведь 2/2 равно 1, а число 1 уже живет в номере 1, – задумалась администратор гостиницы.

– В этом нет никакой проблемы, даже наоборот. Числу 1 достанется множество номеров, и оно выберет, в каком из них жить, – ответил профессор.

Теперь мы подходим к третьему простому числу, которое равно 5. Значит, числу 1/3 достанется номер 5. – Именно в этот момент администратор поняла, почему простые числа непременно нужно возводить в степени: дело в том, что номер 4 уже занят числом 2.

– 2/3 поселится в номере 5², – продолжал профессор, – дроби 3/3 будет выделен номер 5³… вы ведь уже поняли логику моего метода. Затем мы переходим к 7, четвертому простому числу. Идея остается той же. 1/4 получает номер 7, 2/4 – номер 7², 3/4 сможет вселиться в номер 7³ и так далее и так далее – снова и снова и снова. Эта схема расселения очень интересна, – добавил профессор. – Хотя имеется бесконечное число бесконечных групп постояльцев, и каждая из этих групп сама по себе способна целиком заполнить гостиницу, мы сумели разместить всех их. Причем… у нас по-прежнему остается бесконечное количество свободных номеров!

– Что?! – Администратор гостиницы не поверила своим ушам.

– Все номера, не соответствующие простым числам или степеням простых чисел, – например 1, 6, 10, 12, 14, 15, 18… – остаются совершенно пустыми.