Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [46]
– Вы серьезно? – спросила администратор.
– Профессор Финкельштейн-Островский-Канторович всегда серьезен, когда говорит о математике или музыке, – ответил он, говоря о себе в третьем лице.
– Ну хорошо. Тогда извольте объясниться. – И Омега приготовилась выслушать его объяснение.
Объяснение профессора Финкельштейна-Островского-Канторовича
– Прежде всего мы должны договориться, что записываем все числа в бесконечной нотации. Я хочу сказать, что вместо 0,101 мы будем писать 0,101000… Теперь начнем с предположения, что нам все же удалось решить эту задачу, и мы смогли найти в гостинице номера для всех чисел.
– Я полагаю, вы собираетесь показать мне доказательство от противного, не так ли? Как это типично для математиков! – сказала Омега.
– Вот как будет выглядеть распределение чисел по номерам: число А>1 будет в номере 1, число А>2 – в номере 2, число А>3 – в номере 3 и так далее. Кто же такие все эти «А»? Мы сможем узнать их, потому что под своими «новыми» именами они будут выглядеть следующим образом:
A>1 = 0,a>11a>12a>13a>14a>15…
A >2 = 0,a>21a>22a>23a>24a>25…
A >3 = 0,a>31a>32a>33a>34a>35…
A >4 = 0,a>41a>42a>43a>44a>45…
A >5 = 0,a>51a>52a>53a>54a>55…
..……………………
Другими словами, a>ik – это k-я цифра после запятой в числе, которое будет жить в i-м номере. При этом следует помнить, что любая цифра, обозначенная a>ik, – это либо 0, либо 1. Приведу пример. Предположим, что число 0,111000110010… живет в номере 3. Следовательно, для этого числа a>31 = 1, a>32 = 1, a>33 = 1, a>34 = 0, a>35 = 0… – дальше все очевидно. Так вот, – продолжал профессор, – я могу предъявить вам число, которое находится между 0 и 1, то есть входит в группу постояльцев, приехавших с Дельты-Континуума, но не относится к числам, живущим в гостинице. Этот факт докажет, что найти в гостинице место для всех чисел, расположенных между 0 и 1, невозможно, потому что список, который мы составили, получился слишком общим.
Обозначим число, не живущее в гостинице, В. Разумеется, мы запишем его в виде B = 0, b>1b>2b>3b>4… где b>i может быть равно либо 0, либо 1, и образуем его так, чтобы никакое b>i не было равно a>ii (a>ii – это все числа, стоящие на диагонали составленного нами списка). Как мы это сделаем?
Идея чрезвычайно проста. Если a>ii = 0, то b>i должно быть равно 1. Если же a>ii = 1, то b>i должно быть равно 0.
Приведу пример. Допустим, мы как-то расположили все числа от 0 до 1, в записи которых используются только цифры 0 и 1. Они расположены совершенно в произвольном порядке, но предположим, что мы расставили их следующим образом:
A>1 = 0,010010001…
A >2 = 0,010101010…
A >3 = 0,110110110…
A >4 = 0,100110111…
A >5 = 0,011111110…
..……………………
Сформируем теперь число В. Цифру b>1 мы определим равной 1, потому что a>11 = 0 (первая цифра после запятой в числе А>1 равна 0); цифра b>2 должна быть равна 0, потому что a>22 = 1 (a>22 – это вторая цифра после запятой в числе А>2); цифра b>3 должна быть равна 1, потому что a>33 = 0. И так далее.
– Но откуда вы знаете, что число В не живет в гостинице? – не смогла смолчать Омега.
– Это совершенно очевидно. Первая цифра после запятой в числе В, то есть b>1, должна отличаться от первой цифры после запятой в числе A>1 (то есть от цифры a>11). Мы уверены в этом, потому что мы специально построили число В так, чтобы на этом месте стояла другая цифра. Отсюда очевидно, что число В не может быть равно числу А>1, даже если бы все остальные его цифры в точности совпадали со всеми остальными цифрами числа А >1.
Перейдем теперь ко второй цифре после запятой в числе В, то есть к цифре b>2. Она должна отличаться от второй цифры после запятой в числе А>2 – по той же самой причине. Следовательно, каковы бы ни были другие цифры числа В, это число никак не может быть равно числу А>2.
Продолжим аналогичные рассуждения для всех остальных цифр числа В – для всего их бесконечного количества. Результат будет тем же самым для каждой из них. В числе В всегда будет по меньшей мере одна цифра, отличающая его от чисел, входящих в группу A>i. Следовательно, мы должны заключить, что число В не может быть равно никакому конкретному числу А. Другими словами, число В не является постояльцем гостиницы. Оно приехало с Дельты-Континуума вместе со всеми своими друзьями, но, в отличие от них, в гостинице не поселилось.
– Если это так, я внесу число В в самое начало списка, перед А>1! – Омега запрыгала на месте, чрезвычайно возбужденная идеей, которая только что пришла ей в голову. Надо сказать, что разговоры с Омегой не были трудными для профессора, но иногда раздражали его.
– Да вы попросту ничего не поняли из моего объяснения! Смотрите: даже если вы добавите число В в начало списка, я всегда смогу сформировать некое новое число – назовем его Y, – которого в списке не будет, точно так же, как я сформировал число В.
– Вы правы. Но я все равно не понимаю, как может быть, что кому-то из постояльцев не найдется места в бесконечной гостинице.
– Это значит, что, хотя количество номеров в вашей гостинице и бесконечно, количество постояльцев, которые хотят в ней поселиться, еще более бесконечно, – объяснил профессор.
– Что вы такое говорите? Более бесконечно? – спросила чрезвычайно взволнованная Омега. – Объясните же мне, как бесконечное может быть более бесконечным, чем бесконечное!
Эта книга – не из серии «Помоги себе сам». В ней Хаим Шапира – дважды доктор наук, математик, философ, психолог, литератор – пытается найти ответ на волнующий каждого вопрос – что такое счастье? И что надо делать (или чего не делать), чтобы стать счастливым человеком. К поискам привлечены такие авторитеты, как Платон, Декарт, Шекспир, Чехов, Вуди Аллен… Маленький принц, Винни-Пух, Алиса из Страны чудес и многие другие. Читатель узнает также, почему в нашей жизни так важны числа, что считают высшим счастьем женщины и почему их точка зрения так удивляет мужчин, всегда ли ученье – свет, что такое гнев и какова цена истинной дружбы.Хаим Шапира написал очень смешную книгу об очень серьезных вещах.
Избегать риска любой ценой – это очень рискованный путь, считает видный израильский математик и философ, автор бестселлеров Хаим Шапира. Его лаконичная, написанная с юмором книга полна поучительных парадоксов и примеров, которые объединяет главная тема: рассказ о том, как теория игр влияет на нашу жизнь, как ее положения можно использовать в ведении переговоров, выработке навыков стратегического мышления, в справедливом разделении бремени и в решении множества повседневных задач. «Эта книга касается теории игр и слегка затрагивает ряд важных идей в статистике и теории вероятностей.
Наполеон притягивает и отталкивает, завораживает и вызывает неприятие, но никого не оставляет равнодушным. В 2019 году исполнилось 250 лет со дня рождения Наполеона Бонапарта, и его имя, уже при жизни превратившееся в легенду, стало не просто мифом, но национальным, точнее, интернациональным брендом, фирменным знаком. В свое время знаменитый писатель и поэт Виктор Гюго, отец которого был наполеоновским генералом, писал, что французы продолжают то показывать, то прятать Наполеона, не в силах прийти к окончательному мнению, и эти слова не потеряли своей актуальности и сегодня.
Монография доктора исторических наук Андрея Юрьевича Митрофанова рассматривает военно-политическую обстановку, сложившуюся вокруг византийской империи накануне захвата власти Алексеем Комнином в 1081 году, и исследует основные военные кампании этого императора, тактику и вооружение его армии. выводы относительно характера военно-политической стратегии Алексея Комнина автор делает, опираясь на известный памятник византийской исторической литературы – «Алексиаду» Анны Комниной, а также «Анналы» Иоанна Зонары, «Стратегикон» Катакалона Кекавмена, латинские и сельджукские исторические сочинения. В работе приводятся новые доказательства монгольского происхождения династии великих Сельджукидов и новые аргументы в пользу радикального изменения тактики варяжской гвардии в эпоху Алексея Комнина, рассматриваются процессы вестернизации византийской армии накануне Первого Крестового похода.
Виктор Пронин пишет о героях, которые решают острые нравственные проблемы. В конфликтных ситуациях им приходится делать выбор между добром и злом, отстаивать свои убеждения или изменять им — тогда человек неизбежно теряет многое.
«Любая история, в том числе история развития жизни на Земле, – это замысловатое переплетение причин и следствий. Убери что-то одно, и все остальное изменится до неузнаваемости» – с этих слов и знаменитого примера с бабочкой из рассказа Рэя Брэдбери палеоэнтомолог Александр Храмов начинает свой удивительный рассказ о шестиногих хозяевах планеты. Мы отмахиваемся от мух и комаров, сражаемся с тараканами, обходим стороной муравейники, что уж говорить о вшах! Только не будь вшей, человек остался бы волосатым, как шимпанзе.
Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.
Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.