Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [42]

3. Множество всех «не-кроликов» слишком велико, чтобы его можно было обсуждать.

ДВА ОТСТУПЛЕНИЯ: СОВСЕМ КОРОТКОЕ И ЧУТЬ ПОДЛИННЕЕ

1. Поскольку я нежно люблю Италию, я никак не могу не упомянуть, что итальянский математик Чезаре Бурали-Форти (1861–1931) открыл нечто похожее на парадокс Рассела еще раньше его, в 1897 г. Он занимался исследованиями теории множеств и изучал концепцию так называемого «множества всех порядковых чисел».

2. Французский философ Жан Буридан также представил – еще в XIV в. – парадокс, очень похожий на парадокс брадобрея по Расселу. В главе VIII книги «Софизмы» (Sophismata), называющейся «Неразрешимое» (Insolubilia), Буридан рассказывает следующую историю:

Платон встречал своих учеников у некоего моста и не позволял никому перейти на другую сторону без его разрешения. Однажды к мосту пришел Сократ, который потребовал, чтобы Платон его пропустил. Платону не понравился тон, которым разговаривал с ним его учитель; он ответил: «Если первое утверждение, которое ты выскажешь, будет истинным, я тебя пропущу; если же первое утверждение, которое ты выскажешь, будет ложным, я брошу тебя в бурную воду». Сократ немного подумал и сказал: «Ты бросишь меня в воду».

Посмотрим, что тут происходит. Если Платон бросит Сократа в воду, значит, Сократ говорил правду и Платону не следовало бросать его в воду – он должен был пропустить Сократа через мост. А если Платон позволит Сократу спокойно перейти мост, значит, Сократ солгал, а следовательно, Платону следовало отправить его на встречу с бурным течением реки.

Вот и все, что я хотел сказать о Буридане.

Кстати говоря, почти точно такой же парадокс встречается в главе LI второго тома «Дон Кихота», где описано губернаторство Санчо Пансы на острове Баратария. Возможно, вы захотите немного отдохнуть от математики и прочитать эту замечательную главу. Вам понравится.

7 Гранд-отель «бесконечность» имени Гильберта

На планете Проксима-Инфинитас, которая расположена на расстоянии тысяч световых лет от Земли и любого другого места, находится одно из чудес современной архитектуры. На этой планете построена гостиница, созданная на основе концепций математика Давида Гильберта. Гостиница названа его именем и входит в сеть роскошных отелей «Давид Гильберт». Каждый из этажей гостиницы состоит из одного номера, в котором размещается один-единственный постоялец. Число номеров в гостинице бесконечно, но, несмотря на бесконечное количество номеров, гостиница имеет всего один метр в высоту. Строители – ООО «Зенон» – построили гостиницу следующим образом: высота первого этажа составляет полметра, высота второго – четверть метра, третьего – одну восьмую метра и так далее – до бесконечности. Попытайтесь представить себе, как эта гостиница выглядит с высоты птичьего полета. Размеры номеров не беспокоят постояльцев гостиницы, потому что в ней останавливаются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6… Каждое число живет на этаже, номер которого равен этому числу. Гостиница всегда полностью заселена. В число ее сотрудников, которые живут на первом этаже соседнего здания, входят администратор Омега, портье Эпсилон и две горничные, сестры Сигма и Лямбда (Сигма обслуживает нечетные номера, а Лямбда – четные).

Однажды в гостиницу приехал 0, который спросил портье, найдется ли для него номер. Эпсилон ответил, что очень сожалеет, но гостиница совершенно заполнена, и он ничем не может ему помочь. «Чтобы получить номер в нашей гостинице, его нужно бронировать заранее. Не зря же наша гостиница пятизвездочная!»

К счастью для приезжего, в этот момент появилась администратор. Омега сделала портье выговор и объяснила ему, что, если бы гостиница была конечной, тогда действительно было бы нельзя ничего поделать. Но гостиница бесконечна, и проблему можно решить, причем очень просто.

Омега объявила по громкой связи: «Дорогие постояльцы! Убедительно просим каждого из вас переселиться этажом выше». Все числа выполнили инструкции Омеги. Число 1 переехало на второй этаж, число 2 – на третий, число 3 – на четвертый и так далее. Первый этаж остался свободным, и 0 может отныне считать себя постояльцем гостиницы.

– Пожалуйста, запомните, что я сделала, – сказала администратор пораженному Эпсилону. – Я надеюсь, что теперь вы и сами сумеете разместить любое конечное число новых постояльцев.

– Разумеется, – ответил портье. – Если в гостинице появятся тысяча новых жильцов, я просто попрошу каждого из наших долговременных постояльцев переселиться в номер, на тысячу больший того, в котором он живет сейчас, и тогда освободится нужное число номеров.

Удовлетворенная этим ответом, Омега вернулась к другим занятиям, но тут ее отвлек телефонный звонок. Подняв трубку, она услышала рассерженный голос числа 13.

– Я хочу пожаловаться на непомерные расценки, – сказало 13. – 1000 КШ (космических шекелей) в сутки – это грабеж среди бела дня! Особенно учитывая, что, даже если вы брали бы с нас всего лишь по половине КШ, ваши доходы не изменились бы: ваша прибыль в любом случае бесконечна.

– Мне очень жаль, но я не могу так сильно снизить расценки, – отвечала администратор. – Одно лишь ежедневное обслуживание каждого номера обходится в 20 КШ, не говоря уже о зарплатах Эпсилона, Сигмы и Лямбды!