Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [40]

Символ ∈ означает принадлежность к множеству. Например, если мы обозначим буквой F множество всех фильмов, поставленных Феллини, то можно написать «Амаркорд» ∈ F. Если этот символ перечеркнут, он означает, что данный элемент не принадлежит к множеству. Например, «Аватар» ∉ F.

В теории множеств Кантора любой объект либо принадлежит, либо не принадлежит к определенному множеству. Но задумайтесь на мгновение о множестве, скажем, высоких людей: определить принадлежность к этому множеству будет не так-то легко. В 1965 г. американский математик и информатик еврейского происхождения[41] Лоттфи А. Заде (1921–2017) предложил более гибкий подход к множествам, который он назвал теорией нечетких множеств. Основополагающая концепция теории нечетких множеств состоит в том, что каждому объекту можно присвоить вероятность принадлежности к любому конкретному множеству, которая может составлять от 0 (точно не принадлежит) до 1 (точно принадлежит). Например, у Наполеона и Дэнни Де Вито вероятность принадлежности к множеству высоких людей равна 0[42], а у Леброна Джеймса эта вероятность равна 1, в то время как автор этой книги может принадлежать к множеству высоких людей с вероятностью около 0,07.

Я впервые познакомился с теорией нечетких множеств, когда мне попалась книга Барта Коско «Нечеткое мышление» (Fuzzy Thinking, Hyperion, 1993). Эта книга полюбилась мне с первой же строчки: «Однажды я узнал, что наука неверна». Главная мысль этой книги, которую автор блестяще защищает на протяжении всех ее 300 страниц, состоит в том, что в мире нет ничего черного и белого. На самом деле все существует в разных оттенках серого. Всё может быть абсолютно определенно только в классической математике, но классическая математика не способна достоверно описать мир.

Вот слова человека, выразившего эту же идею гораздо лучше, чем удается мне:

Законы математики, имеющие отношение к реальности, не несомненны; если же они несомненны, они не имеют отношения к реальности. Математика, описывающая реальность, не несомненна, а когда математика несомненна, она не описывает реальности.

Альберт Эйнштейн

Вернемся, однако, к канторовой теории множеств.

Сколько элементов содержится в множестве всех четных чисел, которые не могут быть выражены в виде суммы двух простых чисел? Я надеюсь, что вы помните гипотезу Гольдбаха, которая утверждает, что таких чисел не существует. Другими словами, в этом множестве нет ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается вот так: Ø.

Можно сказать, что множество всех четных чисел, которые не могут быть выражены в виде суммы двух простых чисел, с очень высокой вероятностью может быть пустым множеством, но абсолютной уверенности в том, что это действительно так, у нас нет. А вот множество чисел, которые больше самих себя, и множество ежей, говорящих на идиш, совершенно точно пусты.

Ну хорошо; может быть, и можно проявлять некоторую гибкость относительно того, входит ли тот или иной элемент в то или иное множество, – как это делается в теории нечетких множеств, – но до сих пор мы не встречали ничего особенно необычного, что не позволило бы нам определить множество как некий набор элементов. Более того, я должен отметить, что подобное же определение дал концепции множества и сам Кантор.

Однако в мире математики нет почти ничего действительно простого и самоочевидного – есть только кажущееся таковым на первый взгляд.

«Очевидно» – самое опасное слово в математике.

Э. Т. Белл

Оказывается, в таком интуитивном определении множества – как некоего набора элементов – есть несколько скрытых проблем. В качестве примера я расскажу о неприятности, которая случилась с немецким математиком, логиком и философом Готлобом Фреге (1848–1925).

В 1902 г. Фреге собирался опубликовать второй том своей монументальной работы под названием «Основные законы арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik), в которой он показывал, как можно воссоздать правильную арифметику исходя из заложенного Кантором основания теории множеств и используя только наивное определение множества по Кантору. Но 16 июня Фреге почувствовал, что весь его труд грозит развалиться на части: он получил от Бертрана Рассела письмо, в котором тот изложил сформулированный им парадокс, ставший с тех пор чрезвычайно знаменитым. Он известен как «парадокс Рассела» или «антиномия Рассела».

Брить или не брить – парадокс Рассела

Парадокс Рассела существует во многих вариантах, но наиболее известен в формулировке так называемого «парадокса брадобрея».

В маленькой удаленной английской деревушке жил-был Эдвард, профессиональный брадобрей, известный своим крайним педантизмом. Несколько лет назад, когда он только открыл свою парикмахерскую под вывеской «Эдвард Руки-ножницы», он провозгласил следующее правило: он будет брить всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их.

В первый день все шло хорошо. В деревне были те, кто брился самостоятельно, и те, кто приходил к Эдварду ради того гладкого бритья, на которое были способны только его искусные руки. На второй день Эдвард начал замечать на своих щеках и подбородке пробивающуюся щетину, которая его вовсе не красила. Однако за мгновение до того, как он взялся за бритву, дотошный брадобрей осознал, что правило, которое он же сам и ввел, поставило его в затруднительное положение.