Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [26]

Подумайте, не торопитесь.

Цепочки Каннингема

Рассмотрим последовательность чисел 2, 5, 11, 23, 47. Число 2 – простое число Жермен. Умножив его на 2 и прибавив единицу, мы получим простое число 5, которое также относится к простым числам Жермен и приводит нас к 11, которое также относится к простым числам Жермен и приводит нас к 23, которое также относится к простым числам Жермен и приводит нас к 47. Тут, однако, эта цепочка заканчивается, потому что 2 × 47 + 1 = 95, а это число составное. Таким образом, эта последовательность состоит из четырех чисел Жермен и еще одного простого числа.

Такого рода последовательности простых чисел Жермен называются цепочками Каннингема по имени британского военного и математика Алана Дж. Каннингема (1842–1928).

Вот еще несколько задач:

• Существуют ли более длинные цепочки? На самом деле да. Мой домашний компьютер совершенно обессилел, но сумел выдать следующий скромный пример цепочки из шести чисел: 89, 179, 359, 719, 1439, 2879.

• Существуют ли цепочки любой длины?

• Что будет, если заменить 2p + 1 на 2p – 1?

• Имеет ли смысл исследовать выражения 4p + 1 или 4p – 1?

Ха! Задавать-то сложные вопросы легко!

Загадка Гольдбаха, или Кто хочет стать миллионером?

В 1742 г. произошло несколько важных событий. Иоганн Себастьян Бах сочинил «Вариации Гольдберга» (нет почти ни одного настоящего математика, который бы не боготворил это произведение), поэт Эдуард Юнг написал «Ночные размышления о жизни, смерти и бессмертии», в Перу восстали индейцы. А 7 июня этого года почти никому не известный прусский математик Христиан Гольдбах написал письмо великому швейцарскому математику (с которым мы сталкиваемся снова и снова) Леонарду Эйлеру.

Эйлер и по нынешний день остается самым плодовитым математиком в истории – его наследие составляет около 80 томов трудов в разных областях математики. Наивысшим достижением Гольдбаха была служба учителем русского царя Петра II (внука Петра Великого). Хотя один из них был из Пруссии, а другой – из Швейцарии, и Эйлер, и Гольдбах работали в Санкт-Петербургской академии наук, основанной Петром Великим.

В письме к Эйлеру Гольдбах выдвинул гипотезу, известную теперь под названием «гипотеза Гольдбаха». Она представляет собой одну из самых старых и самых известных открытых проблем теории чисел, да и всей математики. Эта гипотеза утверждает, что любое четное целое число начиная с 4 может быть представлено в виде суммы двух простых чисел (так звучит современная формулировка гипотезы). Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5… Бо́льшие четные числа часто можно записать в виде суммы двух простых чисел не одним, а несколькими способами. Например, 40 = 3 + 37 = = 11 + 29 = 17 + 23.

Рассмотрим число 1742, то есть номер года, в котором была выдвинута эта гипотеза. Попробуем, например, такой вариант: 1742 = 13 + 1729.

Заметили ли вы, кстати говоря, что 1729 – это тот самый номер такси, на котором Харди приехал навестить больного Рамануджана? Так вот, сложение 1729 с несчастливым числом 13 дает 1742. Есть только одна крупная неувязка: 1729 (как вы уже должны знать) – число составное: 1729 = 19 × 91. Разумеется, мы с легкостью можем найти другие решения, например, 1742 = 19 + 1723 или 1742 = 43 + 1699… Проверьте, простые ли все эти числа! Вы также можете предложить свои собственные варианты разложения 1742 на два простых слагаемых.

При всем уважении к многочисленным открытым проблемам, касающимся простых чисел, о которых мы говорили до этого, гипотеза Гольдбаха, несомненно, самая знаменитая из них. Гипотеза о простых числах-близнецах занимает лишь второе место. Все же остальные задачи далеко отстают от этих двух по части известности и интереса, который они вызывают.

В 2000 г. была опубликована книга греческого математика-вундеркинда Апостолоса Доксиадиса «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха». Издатель Тоби Фабер предложил приз миллион долларов любому, кто решит задачу Гольдбаха в течение двух лет после выхода книги[24]. Это был настоящий шедевр маркетинга – максимальная шумиха при минимальном риске, – и действительно, претендентов на этот приз не нашлось. Так что теперь тому, кто решит эту задачу, придется удовольствоваться гораздо более скромным (хотя и гораздо более почетным) призом, который назначил Пал Эрдёш.

Решение задачи Гольдбаха, когда и если оно наконец будет найдено, может появиться с двух разных сторон: либо будет открыто четное число, которое невозможно представить в виде суммы двух простых чисел (что называется опровержением, или контрпримером), либо кто-нибудь обоснует причину, по которой все четные числа можно представить таким образом. Пока что было исследовано огромное множество четных чисел (до 10¹⁸), и все они могут быть записаны в виде суммы двух простых чисел. Тем не менее это ничего не значит. Даже если мы проверим все до единого четные числа вплоть до 1 000 000 000 000 000! (а это квадриллион факториал!) и выясним, что все они до единого могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел, вполне может оказаться, что следующее же четное число, 1 000 000 000 000 000! + 2, станет первым исключением из действовавшего в наших результатах правила и опровергнет гипотезу.