Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [24]

Близнецы, тройняшки, кузены и сексуальные простые числа

Два простых числа считают близнецами, если их разность равна 2. Например, пары (3, 5), (5, 7), (11, 13), …, (431, 433)… – это пары чисел-близнецов.

Бесконечно ли количество простых чисел-близнецов?

Из одного того, что количество простых чисел бесконечно, не следует, что ответ на этот вопрос должен быть утвердительным.

Триплеты простых чисел: мини-опрос

Перед вами триплет простых чисел{16}: (3, 5, 7). Докажите, что это единственная возможная «тройка близнецов».

Простые кузены

Пары простых чисел, разность которых равна 4, – например (3, 7), (7, 11), (19, 23), …, (223, 227), – называют двоюродными простыми числами или кузенами. Бесконечно ли количество таких пар?

Сексуальные простые числа

Пары простых чисел, отличающихся на 6, называются по-английски sexy primes[20], то есть «сексуальными простыми числами». Ну и представления о сексуальности у этих математиков! Вот некоторые из победителей на конкурсе самых сексуальных пар: (5, 11), (7, 13), (11, 17), (17, 23), (23, 29), …, (191, 197)…

Вы только посмотрите, какое тут царит распутство! Партнер числа 5, число 11, состоит в связи еще и с 17, а то заигрывает с 23, а оно изменяет ему с 29. Но число 29 хранит верность 23. Сколько тут сюжетных возможностей для поистине кошмарного любовного романа!

Конечно или бесконечно количество простых чисел-близнецов, простых кузенов или сексуальных пар, никто не знает.

Примечание для математиков: сходимость обратных значений простых чисел

Рассмотрим следующий ряд, состоящий только из простых чисел-близнецов:

(1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + … + (1/857 + 1/859)…

В 1915 г. норвежский математик Вигго Брун доказал теорему, которая стала знаменитой и носит теперь его имя. В этой теореме Брун показал, что приведенный выше ряд сходится, и его сумма равна приблизительно 1,9 (1,90216…).

Если бы этот ряд расходился, мы бы точно знали, что количество пар чисел-близнецов бесконечно. Однако тот факт, что он сходится, абсолютно ничего не говорит нам о конечности или бесконечности количества пар близнецов.

Если бы мы могли доказать, что сумма этого ряда не может быть выражена дробью – такие числа называются иррациональными, – это также решило бы задачу, так как означало бы, что существует бесконечно много пар простых чисел-близнецов (сумма конечного количества рациональных чисел всегда равна рациональному числу). Однако эта сумма рациональна, что опять же не проливает света на вопрос о бесконечности (или конечности) чисел-близнецов. Вскоре я расскажу нематематикам о рациональных и иррациональных числах.

Ряд для двоюродных простых чисел выглядит так:

(1/7 + 1/11) + (1/13 + 1/17) + (1/19 + 1/23) + …

Он сходится к сумме, приблизительно равной 1,197 (1,1970449…).

Устойчивые простые числа

Простое число называют устойчивым, если любая перестановка составляющих его цифр также дает простое число[21]. Например, простое число 199 стабильно, потому что числа 919 и 991 также являются простыми. 13 – тоже устойчивое простое число, так как оба числа 13 и 31 относятся к простым. Если запустить компьютерную программу по поиску устойчивых простых чисел, обнаружится, что после сравнительно небольшого количества чисел (последнее из которых – 991) устойчивыми, по-видимому, могут быть только простые числа, состоящие из одних лишь повторяющихся единиц. Первое из них – число 1 111 111 111 111 111 111.

И вот вам еще одна открытая проблема: существуют ли устойчивые простые числа, большие 991, но состоящие не только из единиц? Небольшая подсказка: устойчивое простое число может содержать только цифры 1, 3, 7 и 9. Вполне очевидно, что, если в числе содержится цифра 5, то одна из перестановок его цифр даст составное число.

Палиндромы

Палиндром – это текст, который читается одинаково в обе стороны. I prefer pi[22] – пример фразы-палиндрома. А есть ли палиндромы среди простых чисел? Есть. На самом деле их немало: 919, 101, 14 741 – и множество других превосходных примеров (самое большое из доказанных простых чисел-палиндромов содержит почти полмиллиона знаков). Однако все еще не ясно, конечно или бесконечно их количество. Почему бы вам не наточить карандаши, не включить компьютер и не посмотреть, не сможете ли вы выяснить чего-нибудь по этому поводу.

Гипотеза Лежандра

Французский математик XVIII в. Адриен-Мари Лежандр (1752–1833) выдвинул гипотезу, что между n² и (n + 1)² всегда есть по меньшей мере одно простое число.

Рассмотрим случай n = 2. Между 2² = 4 и 3² = 9 мы находим простые числа 5 и 7. Многие математики интуитивно верят в справедливость этой гипотезы, но, как мы уже говорили, когда имеешь дело с математикой, нельзя полагаться на одну лишь интуицию.

Выше, в разделе под названием «Царство составных чисел», мы узнали, что можно найти сплошную последовательность составных чисел (в которой не будет ни одного простого числа) произвольной длины. Один из студентов, которых я учил, решил, что это обстоятельство противоречит гипотезе Лежандра и, таким образом, доказывает ее ложность. Он ошибался. Последовательности составных чисел нельзя образовывать где попало. Как вы, должно быть, помните, последовательность из 100 чисел, которую мы рассматриваем, начиналась лишь со 100!. А 100! –