Волшебный двурог - [152]

_|_ ВС; проведем через А прямую АЕ, параллельную ВС, возьмем отрезок, который, как мы уже знаем, будет вдвое больше АВ (для этого-то и нужны отметки на линейке!), так, чтобы его левый конец D лежал на АС, правый, то есть точка Е, на АЕ, а продолжение его проходило бы через точку В.

В таком случае угол CBD будет равен одной трети угла ABC. Это надо доказать.

— Попробую, — отозвался Илюша. — Для начала найдем середину отрезка DE, поставим там точку F и соединим ее с точкой А. Значит, этот треугольник EAD прямоугольный.

— 443 —

Вокруг него можно описать окружность, рассматривая отрезок DE как диаметр. Но если точка F будет его центром, то все три отрезка, то есть FD, AF и EF, равны друг другу, как радиусы этого описанного круга, и каждый равен половине отрезка DE или отрезку АВ. Дальше: треугольник ABF, очевидно, тоже равнобедренный в силу этого последнего равенства, а значит, его углы ABF и AFD равны друг другу. Треугольник AFE, конечно, тоже равнобедренный, это ясно из тех же равенств отрезков. Но угол AFD по отношению к треугольнику AFE есть его внешний угол, и следовательно…

— Ну хватит, пожалуй!— сказал Радикс. — Я вижу, ты понял. Доказательство не такое уж хитрое. Правильно ты начал рассуждать.

— Так и есть! — согласился Мнивши. — Очень похожее решение этой задачи даст примерно тем же методом и Архимед. Ученые полагают, что именно раздумья над этим невсисом Архимеда[39] и привели Виету к открытию тригонометрического решения кубического уравнения, так что невсис оказал немалые услуги нашей науке. Виета выяснил, что задача трисекции угла, над которой так мучились в древности, тем и трудна, что сводится к кубическому уравнению.

— Хорошо! — сказал с удовольствием Илья, который был в прекрасном настроении, поскольку ему удалось перескочить через длинное доказательство насчет невсиса и трисекции. — Но мне хочется, чтобы вы еще сказали несколько слов насчет этого знаменитого «правила циркуля и линейки».

— Видишь ли, — отвечал Радикс, — один из крупнейших древнегреческих ученых, Аполлоний Пергейский, современник Архимеда, в своем сочинении о конических сечениях говорит о том, что все геометрические построения должны выполняться только с помощью циркуля и линейки. Вообще в Древней Греции этого правила, конечно, не придерживались, но ему придавали очень большое значение в эпоху возрождения наук в Европе. Этот интерес несколько ослаб, когда Виете удалось впервые обнаружить, что именно это требование означает алгебраически: в таком случае нельзя пойти дальше построения корня квадратного, то есть решения квадратного уравнения либо такой задачи, которая сводится к последовательному извлечению ряда квадратных корней. Среди средневековых работ есть одна замечательная трисекция угла, выполненная очень простыми средствами Гиясэддином ал-Каши, талантли-

— 444 —

Трисекция Гиясэддина ал-Каши.

Хорды — двойные синусы. По теореме Птолемея (если четыре вершины четырехугольника лежат на окружности, сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей), из четырехугольника AEGH, АЕ = EG = GH и EH = AG, выводим, что AG² = АЕ² + АЕ · АН. По теореме Евклида (произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра, проходящего через точку пересечения диаметра с хордой), так как AG = GC, получаем AG² = BG (2R — BG), где R — радиус большого круга; затем но теореме Пифагора из треугольника ABG выводим: AG² = 4 AE² — (4 AE⁴: R²).

Приравнивая два выражения для AG, получаем: АЕ² + AЕ · АН = 4 АЕ² — (4 АЕ⁴ : R²). Полагая, что АЕ = sin а и что АН = sin За (ибо хорда АН стягивает утроенную дугу), а R = 1, получаем для любого угла выражение 3 sin а — 4 sin³a = sin За.

Благодаря этому построению замечательные самаркандские математики в XV веке сумели вычислить синус одного градуса с восемнадцатью точными знаками после запятой.

вым математиком, одним из последних ученых исламитского мира, который трудился у знаменитого астронома Улугбека в Самарканде в пятнадцатом веке. Работы Улугбека были уничтожены реакционным духовенством, его обсерватория разрушена, а сам он был убит. Но память о работах ученых его школы осталась, и в шестнадцатом веке Мариам Челеби, внук ар-Руми, астронома, работавшего вместе с Улугбеком, обнародовал решение задачи трисекции угла. В Европе это решение узнали только в девятнадцатом веке. Это решение не дает искомого угла построением, как невсис Паппа. Но при его помощи можно получить нужное кубическое уравнение.

— 445 —

— А как потом решали кубические уравнения?

— К этому труднейшему вопросу вернулись через некоторое время. Сначала Эйлер со свойственной ему наблюдательностью заметил, что по формуле Кардана получается девять значений корней, тогда как ясно, что нужны всего три. И Эйлер показал, как надо комбинировать между собой эти значения, чтобы получить те три, которые нужны. Таким образом выяснилось, что в формуле Кардана таится еще один неожиданный секрет.

— А почему девять значений? — удивился Илюша.

— Да ведь в формуле Кардана два кубических корня, у каждого три значения, и если каждое из трех значений первого комбинировать с тремя значениями второго…