Волшебный двурог - [150]

— Все-таки трудно… — признался Илюша.

— Разумеется, не очень просто, — согласился Мнимий. — Но вы подумайте еще о том, что в те времена все это было еще трудней, потому что нашей удобной алгебры с буквенными знаками еще не существовало. Тарталья, кстати сказать, изложил формулу Кардана в стихах, а потребовалось ему для этого двадцать пять строк!

— Ого, — отозвался Илюша, — целая поэма!

— Вот именно. И что было делать с этой формулой, как рассудить о ее странностях, долгое время не знали. Пока кубическое уравнение таково, что у него только один действительный корень, выражение под квадратным корнем

(q/2)² + (p/3)³

больше нуля, и тогда вычисления не так трудны. Но в другом случае — и как будто в самом простом, ибо тогда все три корня действительны! — это выражение становится меньше нуля, и как быть с формулой, неясно. Только через четверть века Рафаэль Бомбелли, последователь Кардана, нашел выход из положения. Начал он, как нередко в таких случаях бывает, с частного случая, с численного примера. Он взял такое кубическое уравнение:

x³ — 15x = 4

Решить его ничего не стоит без всякой формулы… Как вы скажете?

— 437 —

Илюша в ужасе уставился на уравнение. Наконец еле выдавил из себя:

— Четыре в квадрате — шестнадцать, а здесь пятнадцать, а четыре в кубе — шестьдесят четыре… Мне кажется, что решение равно четырем, потому что:

64 — 15 · 4 = 64 — 60 = 4.

— Вы совершенно правы! — весело воскликнул Мнимий. — Как видите, решить совсем нетрудно. А теперь попробуйте с формулой Кардана. И тотчас получается:

Как тут быть, неизвестно. Из (+ 121), конечно, квадратный корень извлечь небольшая хитрость, но ведь здесь минус.

Однако попробуем переписать теперь это по-нашему:

Из этого выражения Бомбелли получил (как мы теперь пишем!) такие равенства:

Если вы возведете каждое из этих равенств в куб, пользуясь формулой сокращенного умножения, вам хорошо известной, вы убедитесь, что равенства эти справедливы. Поскольку искомый икс равняется сумме этих двух выражений, то мы получаем…

Илюша немедленно написал ответ:

х = (2 + i) + (2 — i) = 2 + 2 = 4.

— Выходит, — решил он, — что искомый корень представился в виде суммы двух сопряженных комплексных чисел, а эта сумма, как мы уж знаем, есть действительное число! Значит, оно только спряталось за мнимыми числами. Но ведь должны быть и другие корни? Их ведь два еще должно быть как будто? Как их найти? Один корень мы нашли, — рассуждал Илюша, — левая часть уравнения должна состоять из трех

— 438 —

множителей. Но из нашего решения ясно, что один из множителей будет равен

(x — 4);

значит, если я перенесу все члены нашего уравнения влево и разделю затем эту левую часть на этот одночлен, получится квадратное уравнение, а из него можно раздобыть остальные два корня:

(x³ — 15x — 4) / (x — 4) = x³ + 4x + 1

Илюша еще немного покопался с вычислениями и написал:

x₁ = 4,000; x₂ = —2 + √3; x₃ = —2 — √3

или приближенно:

х₂ = —0,268; х₃ = —3,732.

— По теореме Виеты выходит. И сумма корней равна нулю! Попробую проверить значения корней. Для этого я буду придавать иксу целочисленные значения от минус шести до плюс шести и посмотрю, где кривая пересечет ось абсцисс.

Илюша так и сделал. Получилась табличка, а за ней и кривая, которую можно разглядеть на чертеже[38].

x	x3	- 15x	Свободый член	Сумма
- 6	- 216	+ 90	- 4	- 130
- 5	- 125	+ 75	- 4	- 54
- 4	- 64	+ 60	- 4	- 8
- 3	- 27	+ 45	- 4	+ 14
- 2	- 8	+ 30	- 4	+ 18
- 1	- 1	+ 15	- 4	+ 10
0	0	0	- 4	- 4
+ 1	+ 1	- 15	- 4	- 18
+ 2	+ 8	- 30	-4	- 26
+ 3	+ 27	- 45	- 4	- 22
+ 4	+ 64	- 60	- 4	0
+ 5	+ 125	- 75	- 4	+ 46
+ 6	+ 216	- 90	- 4	+122

— 439 —

— Ишь как хорошо вес выходит! — воскликнул Илюша, закончив табличку. — На четверке нуль…

— Сделаешь верно, и получается хорошо, — заметил Радикс.

— А те два других корня по чертежу тоже очень хорошо подходят. В порядке! И действительно, кривая три раза пересекает ось абсцисс.

— Как ей и положено, — закрепил Радикс. — Рафаэль Бомбелли был человек способный, ученый и даже удачливый: говорят, именно ему удалось разыскать на полках громадной Ватиканской библиотеки рукопись творений грека Диофанта Александрийского, с которых и началась теория чисел, высшая арифметика. Возможно, что Диофант в решении с Кардановой формулой навел Рафаэля Бомбелли на кое-какие полезные мысли.

Тут Радикс продекламировал такой стишок:

Вдоль по плоскости кривая

Очень правильно бежит,

Ось абсцисс пересекая,

Где корням быть надлежит!

— Там, где быть им надлежит, там как раз и пробежит! — поддакнул Мнимий.

Радикс проговорил скороговоркой еще стишок:

Как-нибудь уж, в самом деле,

Разберемся еле-еле

И рассмотрим все точь-в-точь,

Если нам синьор Бомбелли Догадается помочь…

И все весело рассмеялись. А Мнимий добавил:

— Надо вам знать еще, что неожиданные и своеобразные разоблачения Бомбелли в те времена скорее привели в недоумение ученых, чем направили их к новым исследованиям. И когда через некоторое время Виета обнаружил, что «неприводимый» случай Кардана можно разрешить тригонометрическим путем (как решение задачи о трисекции угла), то это, наверно, показалось облегчением (впрочем арабские математики нашли это решение примерно еще за целый век до Виеты). Однако трудно сказать, имело ли это какое-нибудь значение, ибо замечательная работа Бомбелли в свое время не была напечатана, хотя была известна и ее изучали крупные ученые. Любопытно, что в те времена были уверены, что