Волшебный двурог [заметки]

1

Очерк о Софье Ковалевской можно прочитать в книге «Люди русской науки». М., Физматгиз, 1961, стр. 178.

2

Вопрос о том, как надлежит в различных обстоятельствах разуметь и толковать слово «прямо», обсуждается весьма подробно в Схолии Четырнадцатой, так что ты уж, пожалуйста, не удивляйся этому вопросу.

3

Загляни, мой хороший читатель, в АЛ-II, XVI, XVII, XVIII, там все это рассказано очень подробно.

4

Однако, как на грех, при переписке Шэнкс пропустил один нуль, и эту его ошибку обнаружили только в 1948 году. Теперь с помощью электронно-счетных машин найдено уже несколько тысяч знаков числа π.

5

АЛ-II, XVI, XVII и XVIII, a в этой книжке — Схолия Девятнадцатая.

6

Загляни-ка в книжку А. А. Савелова «Плоские кривые» (М., 1966), там есть кое-что полезное о трисекции.

7

Лабиринты были широко известны в древности. На одной из стен засыпанного вулканическим пеплом Везувия города Помпеи нашли выцарапанный план лабиринта с надписью: «Здесь живет Минотавр».

8

Кто хочет узнать про Розамундину мышку подробнее, тот пусть возьмет книгу Н. Корбинского и В. Пекелиса «Быстрее мысли». М., «Молодая гвардия», 1959. А по части лабиринтов см. АЛ-I; III, IV, V, VI.

9

Есть очень хорошая книга известного польского математика Вацлава Серпинского «Что мы знаем и чего не знаем о простых числах». М., Физматгиз, 1963.

Тот, кто заинтересуется распределением простых чисел среди натурального ряда чисел, может узнать довольно интересные вещи по этому поводу в журнале «Знание — сила» (№ 3 за 1965 год, стр. 38-39, а также последняя страница обложки), где рассказывается о странной спирали из простых чисел, обнаруженной математиком С. Уламом. Эта углообразная спираль (чертится на клетчатой бумаге) обнаруживает ряд совершенно неожиданных правильностей по части разложения простых чисел в натуральном ряду. На этой необычной диаграмме не только самые простые числа, но и промежутки между ними располагаются в виде довольно длинных отрезков, образующих самые замысловатые узоры.

10

Есть книга по этим вопросам: М. М. Постников. Магические квадраты. М., «Наука», 1964.

11

АЛ-I, XI.

12

Если ты, читатель, захочешь познакомиться поближе с Бушмейстером, то вырезай и склеивай его из довольно плотной бумаги, потому что из тонкой бумаги он будет очень эффектно выкидывать свои петли, а разобраться в них будет труднее. Если хочешь, чтобы все тебе было ясно, то не поленись поступить так: при делении Бушмейстера на два раздели сперва (перед тем как склеивать) бумажку пополам вдоль прямой линии на две полоски при помощи карандаша с обеих сторон, затем выкрась левую полоску и красный цвет с одной стороны, а потом ту же полоску и с другой; когда ты теперь повернешь конец бумажки на 180°, чтобы склеить Бушмейстера, у тебя совпадут красная полоска с красной, а белая — с белой. Если ты вздумаешь делить Бушмейстера на три, то крась, начиная слева, первую полоску в красный цвет, среднюю — в синий, а последняя справа останется белой. Так же точно надо сделать с другой стороны, то есть красить в том же порядке, начиная опять слева. Какие ты выберешь краски и как их расположишь — это, конечно, дело твое; важно только, чтобы краски шли на обеих сторонах бумажной полоски в одном и том же порядке, начиная с какого-нибудь определенного края.

13

Если ты, любезнейший читатель, будешь делить Бушмейстера на пять частей, то раздели бумажку на пять полосок и, начиная слева, выкрась так: красная, белая, синяя, серая, зеленая. В этом случае бумажку лучше взять длиной 40 см, а шириной 5 см.

14

В это время кто-то сказал Илюше на ухо: «Достань себе книжку Г. Радемахера и О. Теплица «Числа и фигуры» и почитай там рассказ двадцать третий о периодических десятичных дробях. Он занимает всего восемнадцать страниц. Если тебе покажется мало, бери «Теорию чисел» И. В. Арнольда. Только там побольше восемнадцати страниц!»

Тут Илюша заметил, что кто-то с ним раскланялся и сел на какую-то длинную палку верхом (а на палке написано: «Ось большая эллиптическая») и со свистом улетел в неизвестность…

Между прочим, в «Архимедовом лете» имеется рассказ о сравнениях (AЛ-I, XI) и указания на систему вычетов, то есть остатков при делении на некоторое число. В данном случае возникает вопрос о степенных вычетах, или остатках при делении последовательных степеней числа 10 на знаменатель данной дроби.

15

По этому вопросу есть сравнительно доступные книги, например:

Л. А. Калужниц. «Что такое математическая логика». М., «Наука», 1964. В конце этой книжки есть список литературы. Тот, кто заинтересуется этим предметом, в книге Л. А. Калужнина может найти немало интересного.

16

Наш дорогой читатель хорошо сделает, если постарается раздобыть книжку Н. Я. Виленкина «Рассказы о множествах», М., «Наука», 1965. Книжечка небольшая (128 стр.), не очень легкая, но одолеть ее вполне возможно. Там рассмотрены те же примеры, что и здесь приводятся, но есть и еще более интересные и сложные.

17

Об этом мы еще потолкуем в Схолии Семнадцатой.

18

В К. Арсеньев. Встреча в тайге. Сборник рассказов. М., Детгиз, 1963. Рассказ «В тундре».

19

АЛ-I; XI, 5, 6.

20

О том, как Пушкин в юности

Читал охотно Апулея,

а Цицерона не читал,

ты можешь узнать из «Евгения Онегина». А поэма Богдановича так и называется «Душенька».

21

У нас есть много хороших книг о Лобачевском. Вот некоторые из них: А. П. Норден. «Элементарное введение в геометрию Лобачевского». М., Гостехиздат, 1953; Б. Н. Делоне. «Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского». М., Гостехиздат, 1956; П. А. Широков и В. Ф. Кагап. «Строение не-евклидовой геометрии». М., Гостехиздат, 1950; А. П. Котельников и В. А. Фок. «Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике».

22

Снимок этой таблетки есть в книге Ван дер Вардена «Пробуждающаяся наука», которую мы уже вспоминали. А таблетке этой примерно три или четыре тысячи лет.

23

Это построение называется диагональными числами. Об этом можно прочесть в АЛ-II, XV, 1, 2, 3; XXII, 5. Ныне все это связано с цепными дробями, о которых говорится в АЛ-II, XXII, ХХIII. Этими дробями занимался в XVI веке Рафаэль Бомбелли. Мы с ним еще встретимся.

24

См. Схолию Девятнадцатую.

25

О спиралях Архимеда можно прочесть в книге «Историко-математические исследования», выпуск VI. М., Гостехиздат, 1953, стр. 623-648; статья И. Г. Башмаковой (*) «Дифференциальные методы в работах Архимеда», § 3-6. См. Схолию Девятнадцатую.

26

Все работы Архимеда переведены на русский язык. Если ты достанешь книгу «Сочинения Архимеда», М., Физматгиз, 1962, то там на стр. 227 ты найдешь сочинение «О спиралях». В книге имеются подробные комментарии и объяснения. Об Евтокии можно прочесть на стр. 528.

27

Наш симпатичный читатель поступит дельно, если раздобудет себе небольшую книжечку «Задачи по элементарной математике», составленную группой преподавателей под руководством чл.-корр. АН СССР И. М. Гельфанда (М., «Наука», 1965). Вся эта серия брошюр («Библиотечка физико-математической школы») очень полезна для юного математика.

28

Об этом подробнее смотри в Схолии Девятнадцатой.

29

В книге Ван-дер-Вардена «Пробуждающаяся наука» в главе VI «Век Платона» много интересного.

30

Замечательный римский поэт Публий Овидий Назон жил в Риме на самом рубеже древней и нашей эры.

Имел он песен дивный дар

И голос, шуму вод подобный…

Так сказал о нем наш дорогой Пушкин в «Цыганах». А в «Евгении Онегине» Пушкин вспоминает о том, как Овидий умер изгнанником:

В Молдавии, в глуши степей,

Вдали Италии своей.

31

В Московском музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина есть его произведения.

32

Когда приходится говорить о замечательной деятельности Н. И. Лобачевского, то некоторые обстоятельства его многотрудной жизни до сих пор ставят исследователя в тупик. Есть основания думать, что то тяжкое нравственное одиночество научного работника, в которое был поставлен Лобачевский бессмысленными преследованиями и издевательствами, оказало самое пагубное влияние на всю его жизнь. Обращает на себя внимание такой крайне странный эпизод. В Юрьеве (Дерпте, теперешний Тарту) работал будущий академик Ф. Г. Миндинг, ученик Гаусса. В 1840 году Миндинг печатает в том же самом журнале Крелле статью, где, опираясь на новые работы Гаусса, приходит к некоторым выводам, очень близким к выводам Лобачевского. Но ни замкнувшийся в себе Лобачевский не замечает этой статьи, ни Миндинг не замечает совпадения своих взглядов с идеями Лобачевского! А Бельтрами отлично замечает это совпадение и на нем, в частности, строит свое оправдание всей геометрии Лобачевского. Так что в сущности признание свое (косвенное, правда!) гениальное произведение Лобачевского получило именно в России… Но увы! Оно прошло незамеченным, пока не попало через четверть века в руки Бельтрами (см. статью Э. К. Хилькевича «Распространение и развитие идей Лобачевского» в сборнике «Историко-математические исследования», М., Гостехгиз, 1949, вып. II, стр. 179 и далее). В высшей степени любопытно еще и то, что В. И. Ленин в своей работе «Материализм и эмпириокритицизм» (изд. 4, т. 14, стр. 221), критикуя взгляды Гельмгольца, в сущности выступает в защиту великих идей Лобачевского (см. у Хилькевича, стр. 221-222).

33

С этим вопросом можно поближе познакомиться по книгам Л. Д. Ландау и Ю. Б. Румер. Что такое теория относительности. М., «Советская Россия», 1959; А. И. Жуков. Введение в теорию относительности. М., Физматгиз, 1961, § 17 «Отклонение световых лучей в поле тяготения»; Альберт Эйнштейн. Сущность теории относительности. М., ИЛ, 1955; Макс Борн. Эйнштейнова теория относительности М., «Мир», 1964 М. Гарднер. Теория относительности для миллионов. М., Атомиздат, 1965. А если читатель захочет еще кое-что узнать об Эйнштейне, то можно посоветовать еще одну замечательную книгу: А. Эйнштейн. Физика и реальность (*). М., «Наука», 1965 (особенно главу «Творческая автобиография», стр. 131-166).

34

Кто хочет познакомиться с этой теоремой поближе, пусть возьмет книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика». М., Гостехиздат, 1947, и разберется во введении к гл. III, в § 4 гл. II, в § 3 гл. V.

35

Этой симпатичной моделью мы обязаны В. А. Ефремовичу, в силу чего Радикс, Мнимий, Илюша и даже сам автор этой правдивой книжечки низко ему кланяются и покорнейше благодарят!

36

Читатель наш может найти очень много интересного в книге У У. Сойера «Прелюдия к математике» (М., «Просвещение», 1965).

Это рассказ о некоторых любопытных и удивительных областях математики с предварительным анализом математического склада ума и целей математики. Особенно интересны главы VIII и IX (*).

37

Подробней об арабской алгебре можно узнать в книге А. П. Юшкевича «История математики в средние века». М., Физматгиз, 1961, гл. III, «Математика в странах ислама».

38

А чертеж сам сделай! Да смотри не ленись!

39

См. АЛ-Н, XVI, 2; там показаны дна невсиса, Архимеда и Неморария. В книге Н. Ф. Четверухина «Геометрические построения и приближения», М., 1935, есть рассказ о геометрических приближениях трисекции угла при помощи «улитки Паскаля» (это не Блез Паскаль, а его отец, Этьен).

40

По этому вопросу см. книгу «Математика, ее содержание, методы и значение». М., АН СССР, 1956, т. I, статья Б. Н. Делоне «Алгебра», стр. 257-261.

41

Многое может пояснить книжка М. М. Постникова «Теория Галуа» (*) (М., Физматгиз, 1963), однако она требует внимательного чтения. Кроме того, уже упомянутая книжка У. У. Сойера (последние главы, особенно гл. XIV) многое расскажет нашему читателю о замечательных достоинствах теории Эвариста Галуа. Некоторые историки науки полагают, что эта теория открыла новую эпоху в математике.

В маленькой полезной книжке И. Я. Бакельмана «Инверсия» (М., «Наука», 1966, Серия «Популярные лекции по математике», вып. 4) читатель найдет теорему Птолемея (о которой у нас говорится на стр. 445), а также и краткие указания о теореме Галуа (см. стр. 52-54, 65 и далее). О решении кубического уравнения можно узнать из книги Г. М. Шапиро «Высшая алгебра» (М., Учпедгиз, 1938, изд. IV), гл. V, § 2; о симметрических функциях — гл. IV, стр. 123 и 145. Теорема Галуа упоминается в гл. VIII, § 4, стр. 311. Кроме того, мы настоятельно советуем нашему многоуважаемому читателю раздобыть себе прекрасную книгу Г. С. Кокстера «Введение в геометрию» (М., «Наука», 1966), где он найдет целый ряд интереснейших вещей, изложенных мастерски и с большим остроумием. А если кому-нибудь вздумается еще кое-что серьезное узнать о великих подвигах комплексных чисел, то можно посоветовать прочитать статью А. П. Юшкевича об определенном интеграле Коши (см. сборник «Труды института истории естествознания», М., АН СССР, 1947, т. I, стр. 373 и далее).

42

Очень много интересного по таким вопросам читатель может найти в книге В. Феллера «Введение в теорию вероятностей и ее приложения». М., «Мир», 1964, второе русское издание; в особенности гл. III (*).