В поисках бесконечности - [47]

Научный энтузиазм Лузина, новизна его идей, незаурядный педагогический талант привлекали к нему многих наиболее талантливых молодых математиков, большинство из которых примкнуло к нему еще на студенческой скамье. Многие из них еще до окончания университета получили крупные научные результаты. Многие годы ученые пытались доказать, что если тригонометрический ряд сходится к нулю почти всюду (то есть всюду, кроме множества нулевой меры), то все его коэффициенты равны нулю. Ко всеобщему изумлению студент Дмитрий Евгеньевич Меньшов[88] показал, что это не так. Построенный им пример был весьма замысловат, как и многие примеры, которые с таким блеском строил и сам Николай Николаевич, и его ученики. С работы Меньшова начался ряд исследований по открытой им проблематике. Сильные результаты получила в этой области Нина Карловна Бари[89], которая позднее написала прекрасную книгу о тригонометрических рядах. Рядом вопросов теории таких рядов занимался в студенческие годы Андрей Николаевич Колмогоров. Ему принадлежит удивительный пример интегрируемой по Лебегу функции, для которой соответствующий тригонометрический ряд всюду расходится.

Другое направление работ учеников Лузина было связано с исследованием строения борелевских множеств. Чтобы доказать, что любое такое множество либо счетно, либо содержит подмножество мощности континуума, Павел Сергеевич Александров придумал еще на студенческой скамье остроумнейшую конструкцию, с помощью которой можно было получить любое такое множество (в его честь ее называют теперь A-операцией). Через некоторое время другой молодой ученик Лузина, Михаил Яковлевич Суслин[90], доказал, что с помощью A-операций можно получать и некоторые множества, не являющиеся борелевскими. Возник вопрос об описании этого класса множеств, называемых теперь суслинскими. К сожалению, безвременная смерть от сыпного тифа в 1919 г. прервала исследования Суслина. Решением возникших проблем занялся сам Лузин, к которому потом примкнули Петр Сергеевич Новиков[91] и Людмила Всеволодовна Келдыш[92]. Полученные ими результаты стали основой, на которой выросло новое направление математики — дескриптивная теория множеств. Дальнейшие исследования в этом направлении гутронули самую сущность основ теории множеств, показали границы теоретико-множественного мышления. Многие из проблем, решенных в настоящее время, были поставлены в работах Лузина, причем получаемые результаты подтверждают его глубокие предвидения.

Большое внимание уделял Лузин приложению своих идей к вопросам классического анализа, в частности, к теории функций комплексного переменного.

В результате деятельности Лузина и его учеников Москва стала общепризнанным центром научных исследований в области теории функций действительного переменного. Этому не смогли помешать ни первая мировая и гражданская войны, ни интервенция, ни блокада. В Польше идеи Лузина развивал Вацлав Серпинский[93], который в годы первой мировой войны жил в Москве и общался с Лузиным.

Можно было бы назвать многих и многих учеников Лузина, большинство из которых являются славой и гордостью советской науки. Многие из них стали впоследствии действительными членами и членами-корреспондентами АН СССР, математиками с мировой известностью. Так возникла одна из самых замечательных научных школ, которая, как уже говорилось выше, получила по имени своего основателя и главы название "Лузитания". Это было сообщество молодых математиков, связанных друг с другом горячей любовью и живым бескорыстным интересом к математической науке.

Следует отметить, что из-за чрезмерной поглощенности проблемами теории множеств и функций действительного переменного лузитане иногда недооценивали важность классических направлений в математике. Но впоследствии научные интересы многих из них сдвинулись в области, лежавшие гораздо ближе к практическим задачам. Например, как уже упоминалось, А. Н. Колмогоров применил идеи лебеговой меры в теории вероятностей, а потом стал заниматься практическими приложениями этой теории. Даже такой видный представитель прикладной математики, как Михаил Алексеевич Лаврентьев[94], в молодые годы занимался тончайшими исследованиями по теории множеств.

Большие ирригационные работы.

Проследить в рамках этой книги за всеми областями математики, которыми стали заниматься бывшие лузитане, совершенно невозможно — для этого надо было бы написать книгу по истории советской математики. Мы расскажем лишь о том, как идеи теории бесконечных множеств были применены в топологии — науке о свойствах фигур, остающихся неизменными при преобразованиях самого общего вида. Надо только, чтобы эти преобразования были взаимно однозначными и чтобы не было ни разрывов, ни склеек. Первоначально топологи изучали лишь фигуры, которые можно разбить на конечное число простейших фигур, называемых симплексами (точек, отрезков, треугольников, тетраэдров). Но потом они применили свои идеи к множествам гораздо более сложного строения. И тут выяснилось, что геометрическая интуиция, верно служившая им раньше, дает неверные ответы на многие вопросы.