В поисках бесконечности - [45]

За решение возникших проблем взялись молодые ученые, вдохновленные лекциями Жордана. Одно из первых определений, применимых к весьма широкому классу фигур, предложил в конце XIX в. Эмиль Борель[76]. Он заметил, что все возникавшие в науке фигуры на прямой, плоскости и в пространстве могли быть получены из простейших фигур — отрезков, квадратов и кубов с помощью двух основных операций: образования дополнения к множеству и объединения счетной совокупности множеств (в частности, как мы видели выше, таким путем получаются все замкнутые множества). Чередуя эти операции и продолжая такой процесс трансфинитным образом, можно получать на каждом шагу все более сложные множества, названные в честь Бореля борелевскими, или, иначе, B-множествами (отметим, что, применяя идею Зенона, можно получить каждое такое множество за конечный промежуток времени, удваивая на каждом шагу скорость применяемых операций).

Оказалось, что любому борелевскому множеству можно приписать меру исходя из следующих двух принципов:

* если множество A представило в виде объединения счетной совокупности подмножеств, имеющих меру, причем никакие два из них не имеют общих точек, то мера всего множества равна сумме ряда, составленного из мер подмножеств;

* мера дополнения к подмножеству, имеющему меру, получается путем вычитания меры этого подмножества из меры целого.

Из принципов Бореля вытекало, в частности, что любое счетное множество имеет нулевую меру — ведь оно является объединением счетной совокупности точек, а мера каждой из этих точек равна нулю.

К сожалению, позднее выяснилось, что предложенный Борелем процесс измерения множеств обладал существенным недостатком. Дело в том, что одно и то же множество может быть разными способами составлено из простейших, а потому предстояло доказать, что все эти способы дадут одно и то же значение для меры данного множества. Такого доказательства Борель не смог получить.

Иначе подошел к проблеме измерения множеств начинавший в те годы свою научную деятельность Анри Лебег[77]. Уже первые работы Лебега разгневали математиков классического направления. Само название одной из них "О нелинейчатых развертывающихся поверхностях" казалось им столь же противоестественным, как, например, название "О газообразном льде" для физика или "О рыбообразных слонах" для биолога. Самый слабый студент знал, что любая поверхность, которую можно развернуть на плоскость (цилиндр, конус и т. д.), соткана из прямых линий, то есть может быть получена движением прямолинейной образующей. Но все дело было в том, что молодой автор по-иному понимал развертывающиеся поверхности, чем геометры-классики. Он считал такими не только поверхности, получаемые аккуратным изгибанием листа бумаги, но и поверхности, которые получатся, если этот лист бумаги скомкать (поясняя свою работу одному из друзей, Лебег сказал: "Представь себе скомканный носовой платок"). Он доказал, что кусок плоскости можно так "скомкать", чтобы после этого на нем не оказалось ни одного прямолинейного отрезка. Разумеется, получившаяся поверхность вся состояла из складок и изломов. Поэтому ее и пропустили геометры, классифицировавшие развертывающиеся поверхности: они занимались лишь гладким случаем.

От изучения произвольных развертывающихся поверхностей Лебег перешел к общему вопросу, как определить площадь поверхности, если эта поверхность не является гладкой, если к ней нигде нельзя провести касательную плоскость. Для скомканной развертывающейся поверхности задача решается просто: надо расправить ее и подсчитать площадь получившегося куска плоскости. Но этот ответ нельзя было получить по формулам, которые давала классическая математика: они годились лишь для гладких поверхностей.

Не удалась бы и попытка измерять площади поверхностей, вписывая в них многогранники и переходя к пределу при уменьшении размеров всех граней. Немецкий математик Г. Шварц[78] показал, что таким путем нельзя найти площадь самого обычного цилиндра — вписанный в него многогранник может оказаться настолько складчатым, что площадь его поверхности куда больше площади цилиндра. Лебегу удалось придумать определение площади поверхности, которое не требовало проведения касательных плоскостей, но в то же время обходило все трудности, связанные с "гармошкой Шварца". Решая эту частную задачу, Лебег пришел к общим идеям о том, что такое мера множества, как измерять длины, площади и объемы самых причудливых фигур.

Взяв от Бореля идею суммирования рядов, он видоизменил определение меры, предложенное Жорданом, разрешив использовать кроме многоугольников и фигуры, получаемые из них с помощью объединения счетных совокупностей. Именно, назовем фигуру ε-покрываемой по Лебегу, если существует счетная система многоугольников, объединение которых покрывает эту фигуру, причем сумма ряда, составленного из их площадей, меньше, чем ε. Далее, назовем множество X измеримым по Лебегу, если для любого ε>0 его можно представить в виде многоугольника Δε, к которому присоединено одно ε-покрываемое множество и от которого отброшено другое ε-покрываемое множество. Если меру многоугольника A обозначить через |A|, то ясно, что мера множества X должна быть заключена между числами |A